AA 2018/19
Corso di Laurea triennale in Fisica e Astrofisica
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II
Docente: Francesca Bucci


			REGISTRO delle LEZIONI


1^ Settimana

Ven. 21 Sett. 2018 (2 ore)

Presentazione del corso "Analisi Matematica II". Contenuti, prerequisiti, testo di riferimento e
altri testi consigliati (tutti i dettagli nello spazio "Insegnamenti" affidati alla docente nel
sito di Ateneo). Organizzazione di lezioni e discussioni, e-learning, orario di ricevimento.
Registro delle lezioni (accessibile non solo dalla piattaforma Moodle ma anche direttamente dal
sito della docente http://www.dma.unifi.it/~fbucci/ alla voce Teaching Activity).

Onnipresenza delle funzioni di piu' variabili a valori reali o vettoriali, applicazioni
fisico-meccaniche (e non solo). Alcune motivazioni/ispirazioni: strumenti musicali, vibrazioni di
corde o membrane (e modelli differenziali che descrivono tali vibrazioni); funzioni reali di una
variabile e rappresentazione parametrica dei punti del grafico corrispondente; massa di un filo
materiale non omogeneo; baricentri di figura; aree di figure piane e volumi dei solidi; superfici;
evoluzione del campo di velocita' di un fluido.

Lo spazio R^n: definizione, punti o vettori, struttura lineare (obbligatorio richiamare la
definizione di spazio vettoriale). Prodotto scalare, proprieta' del prodotto scalare, spazi
pre-hilbertiani. Norma (o lunghezza) di un vettore: definizione, proprieta' (dimostrate, con
l'ausilio della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

2^ Settimana

Lun. 24 Sett. 2018 (3 ore)

Richiami dalla lezione precedente: proprieta' del prodotto scalare. Norma indotta dal prodotto
scalare. Proprieta' della norma, spazi normati. Stime (dall'alto e dal basso) per la norma della
differenza. Identita' del parallelogramma. Non tutte le norme sono indotte da un prodotto scalare,
come mostra lo spazio C_b(I) delle funzioni (a valori reali) continue e limitate in un intervallo
I, dotato della norma ||f||:= sup_I |f(x)|.

Distanza (o metrica) euclidea: definizione e proprieta'. Spazi metrici generali. Altre metriche in
R^n. Intorni sferici (palle): definizione ed esempi illustrativi. Palle in R^n (per n=1,2,3) con la
metrica euclidea e con altre metriche (completare i disegni).
La metrica fornisce una topologia. Punti interni, esterni, di frontiera per un sottoinsieme D di
R^n (e piu' in generale di uno spazio metrico), esempi illustrativi. Punti di accumulazione.
Successioni in uno spazio metrico, limiti di successioni. Applicazioni tra spazi metrici (X,d_X)
e (Y,d_Y). Data f: X ---> Y, definizioni di "f ha limite L, per x che tende a x_0" e "f e' continua
in x_0".

[Integrare le definizioni con quelle di: insieme discreto, aperto, chiuso; operazioni con gli
aperti (e con i chiusi). Chiusura di un insieme, sua caratterizzazione. Insiemi limitati.]


Mer. 26 Sett. 2018 (2 ore)

Lo spazio R^n con la norma euclidea (continuazione). Vettori ortogonali. Formula di Carnot e
Teorema di Pitagora.

Come discutere limiti, continuita', derivabilita', nel caso di funzioni di variabile reale a
valori vettoriali. Proposizione: Sia I un intervallo di R. Un'applicazione r: I ---> R^n e'
continua in t_0 appartenente ad I se e solo se lo sono tutte le sue componenti (dim.).

Curve: definizione, primi esempi (segmento congiungente due punti dello spazio, retta per due
punti, circonferenza di centro (0,0) e raggio R, elica cilindrica). Sostegno (o traiettoria) della
curva, rappresentazioni parametriche distinte dello stesso sostegno. L'ordinamento di R induce un
senso di percorrenza del sostegno. Curve chiuse, curve semplici, esempi illustrativi.
Il sito "mathcurve". Esercizio: come dedurre dalla rapppresentazione parametrica un disegno del
sostegno della curva. 


Ven. 28 Sett. 2018 (2 ore)

Curve (continuazione). Derivate e integrali di funzioni di variabile reale, a valori vettoriali.
Vettore velocita': definizione, esempi. Approssimazione lineare, retta tangente al sostegno di
una curva in un punto. La classe C^1(I) (sarebbe C^1(I,R^n)), le classi C^k(I), C^infty(I).
Non validita' del teorema di Lagrange (controesempio).
Integrale di funzioni a valori vettoriali in un intervallo [a,b]; stima della norma dell'integrale
(dim. procrastinata).

Parametrizzazioni distinte di una curva, esempi illustrativi. Curve cartesiane, curve polari.
Curve definite da un'equazione cartesiana: derivazione di una rappresentazione parametrica 
per la leminscata di Bernoulli. Curve rettificabili, lunghezza di una curva: definizione. Esempio
di curva non rettificabile (non patologica): il grafico della funzione definita da f(x)= x sin(1/x)
in (0,2/pi], f(0)=0 non e' rettificabile (da dimostrare). 


3^ Settimana

Lun. 1 Ott. 2018 (3 ore)

Curve (continuazione). Cambi di parametro, curve equivalenti; esempi illustrativi.
Il grafico della funzione definita da f(x)= x sin(1/x) in (0,2/pi], f(0)=0 non e' rettificabile
(dim). Teorema (dim.): "Una curva r: [a,b] ---> R^n, con r appartenente alla classe C^1([a,b]),
e' rettificabile, e la sua lunghezza e' pari all'integrale della funzione ||r'(.)|| in [a,b]".
Curve cartesiane e polari di classe C^1. 
Esercizi: calcolo della lunghezza (i) dell'arco di parabola di equazione y=x^2, con x appartenente
a [0,1]; (ii) dell'arco di spirale (di Galileo) di equazione polare rho=theta^2, con theta in 
[0,2 pi].

Curve regolari: definizione, esempi. Una curva piana regolare e' localmente una curva cartesiana
(dim.). Curve regolari a tratti. 
[Esercizio assegnato: La curva astroide: disegno del sostegno, analisi della regolarita', calcolo
della lunghezza.]
Ascissa curvilinea (o parametro arco), rappresentazione "standard".


Mer. 3 Ott. 2018 (2 ore)

Curve (conclusione). La condizione di regolarita' per curve (piane) cartesiane o polari.
Integrali curvilinei di funzioni scalari: motivazioni fisico-meccaniche -- quali, ad esempio,
il calcolo della massa di un filo materiale non omogeneo --, introduzione euristica, definizione.

Funzioni di piu' variabili, a valori reali. Dominio, insiemi di livello, grafico, esempi
illustrativi. Curve di livello e grafici delle funzioni f(x,y)=x^2+y^2, g(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2}.

[Integrazioni: i) La lunghezza di una curva regolare (o regolare a tratti) e' invariante per cambi
di parametro "regolari" (l'aggettivo sta ad indicare biezioni phi di classe C^1, con phi' diversa
da 0). ii) Formule per le coordinate del centro di massa di un filo materiale. iii) Le quadriche.]


Ven. 5 Ott. 2018 (2 ore)

Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili. Limite finito di f(x), per x che tende a x_0:
definizione dedotta dalla definizione generale di limite di applicazioni tra spazi metrici;
riformulazione in termini di intorni. Validita' del Teorema della permanenza del segno (dim. per
esercizio). Limite di restrizioni. Algebra dei limiti.
Discussione del limite, per (x,y) ---> (0,0), di tre diverse funzioni razionali: (xy/(x^2+y^2),
x^2y/(x^2+y^2), x^2y/(x^4+y^2). Come produrre un `candidato' limite l, come provare rigorosamente
che f(x) tende a l.

Funzioni continue in x_0: definizione, riformulazione in termini di intorni, legame con i limiti.
Continuita' della funzione che associa a x=(x_1,x_2,...,x_n) una sua componente x_i (dim.). I
polinomi in piu' variabili sono funzioni continue, le funzioni razionali sono funzioni continue.
La composizione di funzioni continue e' continua (dim. per esercizio).


4^ Settimana

Lun. 8 Ott. 2018 (3 ore)

Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili (contin.). Risultati di rilievo per le funzioni
continue: il ruolo delle proprieta' di compattezza e connessione. Insiemi sequenzialmente compatti
(o compatti per successioni) in spazi metrici: definizione, caratterizzazione dei sottoinsiemi
compatti di R^n (s.d.). Teorema di Weierstrass (dim. per funzioni a valori reali, definite su spazi
metrici).
Insiemi di livello di funzioni continue in R^n, sottolivelli e sopralivelli. Proprieta' rispettive
di essere chiuso o aperto (dim.). Discussione di un esempio illustrativo: il solido racchiuso dalle
superfici di equazione z=x^2+y^2 e z=2-(x^2+y^2)^{1/2} -- superfici incluse -- e' chiuso e
limitato.
 
Insiemi connessi per archi: definizione, esempi di insiemi connessi e sconnessi in R^n. Teorema dei
valori intermedi, Teorema degli zeri (dim. per esercizio).

Limiti all'infinito: definizione, esempi.

[Integrare: (i) i risultati di rilievo con il Teorema di Heine-Cantor; (ii) i limiti con le
definizioni di limite + o - infinito per x che tende a x_0, e per ||x|| che tende a +infinito.] 


Mer. 10 Ott. 2018 (2 ore)

Derivabilita' e differenziabilita' per funzioni (a valori reali) di n variabili (n>1). Derivate
direzionali: definizione, esempi illustrativi, interpretazione geometrica. Derivate parziali
(prime), vettore gradiente; calcolo delle derivate parziali. La continuita' in x_0 non segue
dall'essere derivabile: i) esempio di funzione che ammette gradiente in un punto x_0 ma non e'
ivi continua; ii) esempio di una funzione derivabile in x_0, lungo ogni direzione v, che non e'
ivi continua.

Funzioni differenziabili in un punto x_0: richiami dal caso n=1, approssimazione lineare,
definizione (n>1), prime implicazioni: esistenza del gradiente, struttura del differenziale.

Ven. 12 Ott. 2018 (2 ore)

Funzioni differenziabili (contin.): implicazioni, esempi illustrativi, risultati di rilievo.
Si richiama la definizione di funzione f differenziabile in x_0. Il differenziale di f in x_0.
Teorema (dim.): "Una funzione (a valori reali) differenziabile in x_0 interno a D (i) e' continua
in x_0; (ii) possiede tutte le derivate direzionali in x_0, lungo ogni direzione v, e queste sono
date da (grad f(x_0),v)".
Esercizio: si prova che la funzione f(x,y) che vale x^2y/(x^2+y^2) se (x,y) e' diverso da (0,0),
e vale 0 in (0,0) non e' differenziabile in (0,0).
Il Teorema del differenziale totale (dim.). Funzioni di classe C^1 in un aperto A di R^n. 
Corollario: Una funzione f appartenente a C^1(A) e' differenziabile in A. Importante: esistono
funzioni differenziabili che non sono C^1 (si richiama l'estensione continua in x_0=0 della
funzione x^2 sin(1/x)). La classe C^1(A) e' contenuta nella classe C(A) (n>1).
Quadro riassuntivo dei legami che intercorrono tra le proprieta' seguenti per funzioni a valori
reali definite in un aperto A di R^n: appartenere a C^1(A), essere differenziabile in A, essere
derivabile in A (possedere tutte le derivate direzionali in A), appartenere a C(A).


5^ Settimana

Lun. 15 Ott. 2018 (3 ore)

Calcolo differenziale (contin.). Studio della differenziabilita' della funzione (norma) f(x)=||x||,
in x appartenente a R^n; enfasi sull'impiego del Teorema del differenziale totale -- ove possibile
-- e della definizione (di differenziabilita'). Funzioni differenziabili in un punto x_0, derivate
direzionali in x_0, direzioni di massima e minima crescita.  Funzione f differenziabile in un punto
x_0, (iper)piano tangente al grafico G_f di f in P_0= (x_0,f(x_0)), vettori e versori normali a G_f
in P_0; esempi illustrativi.

Punti di massimo (minimo) relativo ed assoluto per funzioni di piu' variabili: definizione, Teorema
di Fermat (dim.). Esercizio: si chiede di stabilire se esistono gli estremi assoluti della funzione
f(x,y)=x+y nel disco chiuso di centro (0,0) e raggio 1; analisi che si avvale del Teorema di
Weierstrass in primis, del Teorema di Fermat, e della rappresentazione parametrica del bordo
dell'insieme (curva elementare); analisi che si avvale delle curve di livello di f.


Mer. 17 Ott. 2018 (2 ore)

Calcolo differenziale (contin.). Derivazione di funzioni composte in piu' variabili. Un caso di
particolare rilievo: il caso g(t):=f(r(t)), con t appartenente ad un intervallo I, quando r e'
un'applicazione a valori in R^n e f e' una funzione (a valori reali) definita in un aperto A di
R^n contenente r(I). Teorema (con incipit della dim.): condizioni sufficienti per la derivabilita'
di g in t_0, regola della catena per il calcolo di g'(t_0). Esempio: non validita' della regola
della catena.
Esercizio (per casa): Dimostrare che la funzione f(x,y) che vale x se y=x, e vale 0 altrimenti,
non e' differenziabile in (0,0). 

Applicazioni. L'importanza della derivazione di funzioni composte, in assenza di leggi esplicite;
ad esempio, nello studio di sistemi descritti da Equazioni a Derivate Parziali (equazioni o sistemi
di equazioni differenziali con funzioni di piu' variabili quali incognite). 
Proprieta' geometrica del gradiente: si considerino una funzione f di due variabili (a valori
reali), un suo insieme di livello M (non vuoto), un punto p_0 appartenente a M. Si anticipa
(conseguenza del Teorema di Dini o delle funzioni implicite) che: assumendo f di classe C^1 in
un aperto A contenente M, e grad f(p_0) diverso da zero in p_0, allora M e' localmente -- in un
intorno di p_0 -- il sostegno di una curva cartesiana regolare. Da questo segue, in particolare,
che grad f(p_0) risulta ortogonale a M in p_0 (dim., utilizzando la derivazione di funzioni
composte).

Esercizio (per casa): Determinare gli estremi assoluti della funzione f(x,y)=x^2+2y^2 nell'insieme
{(x,y): x^4+y^4 <=1} in due modi differenti.

Ven. 19 Ott. 2018 (2 ore)

Applicazioni a valori vettoriali. Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali differenziabili
in un punto: definizione, come opera il differenziale, matrice jacobiana, esempi illustrativi.
Derivazione di funzioni composte: enunciato del Teorema, regola della catena. Un (altro) caso di
rilievo: f(x)=phi(g(x)), con phi funzione di una variabile, f e g funzioni di n variabili; 
differenziabilita' di f, calcolo del gradiente.

Ottimizzazione vincolata. La ricerca dei valori massimo e/o minimo (estremi) di una funzione f(x,y)
ristretta all'insieme di livello M di un'altra funzione g(x,y). Punti di estremo (massimo/minimo)
vincolato. Derivazione di una condizione necessaria affinche' un punto p_0 sia di estremo vincolato
per f, con vincolo M, se f e g sono di classe C^1 in un aperto A di R^2, e il gradiente di g in p_0
e' diverso da 0 (dim. del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange). 

6^ Settimana

Lun. 22 Ott. 2018 (2 ore)
 
Problemi di ottimizzazione vincolata. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange: introduzione
euristica, enunciato, dim. (cfr. lezione precedente) nel caso piu' semplice, cioe' nel caso 
di un solo vincolo dato dall'insieme di livello di una funzione di due variabili. Altri casi
di rilievo: un (solo) vincolo dato dall'insieme di livello di una funzione di tre variabili;
due insiemi di livello di funzioni di tre variabili quali vincoli. Un problema isoperimetrico:
Qual e' il parallelepipedo di volume massimo, se la superficie e' assegnata? Formulazione del
problema, ricerca dei punti critici vincolati; giustificazione dell'esistenza del valore massimo
della funzione volume su un insieme che non e' limitato (da completare). 


Mer. 24 Ott. 2018 (3 ore)

Completamento della dimostrazione -- che si avvale del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange
-- del fatto che il parallelepipedo di volume massimo, data la superficie, e' il cubo. Altre
dimostrazioni (cfr. approfondimento su piattaforma e-learning).

Derivate e differenziali successivi. Derivata seconda di una funzione f in un punto x, lungo le
direzioni v e w (nell'ordine). Derivate parziali seconde (pure e miste), matrice hessiana. Esempio
illustrativo, calcolo delle derivate parziali seconde. Due funzioni che posseggono derivate seconde
miste (in un punto) non coincidenti. Teorema di Schwarz (s.d.). Funzioni di classe C^2 in un aperto
A di R^n; la matrice hessiana e' una matrice simmetrica.
Siano dati un aperto A di R^n ed una funzione f appartenente a C^2(A): formula di Taylor di f, con
centro in x_0, e resto di Lagrange (dim.). Formula di Taylor di f di ordine due, con centro in x_0
e resto di Peano (dim.). Alcune applicazioni delle formule ottenute: studio della natura dei punti
critici di una funzione (a valori reali) di piu' variabili; funzioni convesse (concave); limiti di
funzioni di piu' variabili.


Ven. 26 Ott. 2018 (2 ore)

Derivate e differenziali successivi (contin.). La classe C^2(A). C^2(A) e' contenuta in C^1(A).
Derivate di ordine k>2; la classe C^k(A). Polinomi di Taylor, un esempio illustrativo: calcolo
del polinomio di grado 2 della funzione cos(x+y), con centro in (0,0). 
Funzioni omogenee di grado alfa: definizione, esempi.
Applicazioni della formula di Taylor con resto di Peano: `natura' dei punti critici, condizioni
"del second'ordine". Proposizione: Siano A un aperto di R^n, f una funzione appartenente a C^2(A),
x_0 un punto critico per f (in A). Una condizione necessaria e una condizione sufficiente
affinche' x_0 sia di minimo (massimo) relativo per f in A (dim. del primo assunto).

7^ Settimana

Lun. 29 Ott. 2018 (3 ore)

Completamento della dimostrazione della Proposizione di cui alla lezione precedente (dim. del
secondo assunto). Forme quadratiche definite positive (negative), semidefinite positive (negative),
indefinite. Esempi. Punti di sella. Criteri di carattere algebrico per stabilire se una forma
quadratica e' definita/semidefinita positiva (negativa), oppure indefinita: segno degli autovalori
della matrice associata alla forma quadratica, segnatura della matrice; criterio di Jacobi (cfr.
testi di riferimento).

Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili. Integrale di funzioni (a valori reali) limitate
in un rettangolo Q=[a,b]x[c,d]: suddivisioni (o partizioni) di Q, somme inferiori e superiori,
definizione di "f e' integrabile (secondo Riemann) in Q". Esempi: 1. Le funzioni costanti sono
integrabili ed il valore dell'integrale e' dato da C(b-a)(d-c), se f(x,y)=C; 2. La funzione che
vale 1 nei punti del quadrato [0,1]x[0,1] a coordinate razionali, e vale 0 altrimenti, non e' 
integrabile (secondo Riemann).
Interpretazione dell'integrale di funzioni positive su un rettangolo: volume del cilindroide
(sotteso al grafico). Proposizione: caratterizzazione dell'integrabilita' (dim. per esercizio; cfr.
dim. analoga nel caso di funzioni di una variabile). 
Teorema (dim.): Una funzione continua in un rettangolo chiuso [a,b]x[c,d] e' integrabile.
Introduzione euristica alle formule di riduzione.


Mar. 30 Ott. 2018 (2 ore) -- in luogo della lezione di Fisica II

Calcolo integrale (contin.). Formule di riduzione per funzioni integrabili in un rettangolo (s.d.).
Esercizio: calcolo dell'integrale della funzione f(x,y)=xcos(x+y) in [0,pi/2]x[0,pi]. Funzioni
integrabili su domini piu' generali: definizione.

Misura di Peano-Jordan: definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan (in R^2), esempi
illustrativi, incluso il caso di un insieme non misurabile. Si puo' provare che tutte le figure
(piane) della geometria elementare sono misurabili, con misura data dall'area, secondo le usuali
formule della geometria classica. 
Insiemi (misurabili) di misura nulla -- anche detti "trascurabili". Caratterizzazione degli insiemi
trascurabili (s.d.). Esempi di insiemi piani trascurabili: un insieme costituito da un numero
finito di punti; un segmento; il grafico di una funzione integrabile secondo Riemann in [a,b] (dim.
procrastinata); un arco di curva regolare a tratti.
Proposizione (s.d.): Un insieme piano limitato e' misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se la
sua frontiera e' trascurabile. 
Insiemi semplici rispetto ad un asse. La frontiera di un insieme semplice e' trascurabile. 


Mer. 31 Ott. 2018 (2 ore)

Calcolo integrale (contin.). Teorema (dim.): Una funzione limitata in un rettangolo Q, continua in
Q tranne al piu' in un insieme di misura nulla, e' integrabile. Funzioni generalmente continue.
Una funzione limitata in un insieme D semplice rispetto ad un asse, continua nella parte interna
di D e' ivi integrabile; derivazione delle formule di riduzione rispettive.
Baricentro o centroide di un corpo materiale (e di figure piane). Esercizio: descrizione analitica
della figura del primo quadrante delimitata dalle rette di equazione y=2x, y=x/2, y=1/x come insieme
semplice rispetto ad un asse, determinazione del baricentro (da completare).

Proprieta' dell'integrale (un rapido excursus): linearita', (positivita' e) monotonia, (valor medio
e) proprieta' della media; additivita' rispetto al dominio di integrazione (enunciati e relative
dimostrazioni `per casa'). 
Introduzione ai cambi di variabili negli integrali doppi: integrale di una funzione a simmetria
radiale su un dominio a simmetria radiale.


Ven. 2 Nov. 2018 (0 ore)

Chiusura dell'Ateneo.


8^ Settimana

Lun. 5 Nov. 2018 (3 ore)

Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Come cambia l'area di un rettangolo sotto l'azione
di un'applicazione lineare a valori in R^2 (si richiami: "Sia A una matrice reale non singolare.
Allora |det A| rappresenta l'area del parallelogramma generato dai vettori colonna di A.")
Il caso lineare affine. Approssimazione lineare e modulo del determinante jacobiano di una
trasformazione T(.) come fattore di scala con cui vengono trasformate le aree (e i volumi, ecc.). 
Alcuni fatti (s.d.): un'applicazione lineare trasforma insiemi misurabili in insiemi misurabili, ed
insiemi trascurabili in insiemi trascurabili; le proprieta' suddette si estendono al caso di
funzioni localmente lipschitziane (e quindi alle funzioni di classe C^1). Diffeomorfismi (da
sottoinsiemi di R^n su sottoinsiemi di R^m): definizione, esempi. Un'applicazione invertibile e di
classe C^1 in un aperto di R^n non ha necessariamente l'inversa di classe C^1 (cfr. f(x)=x^3 in R).
Un diffeomorfismo T da un aperto A di R^n in R^n ha matrice jacobiana non singolare in ogni punto
di A; matrice jacobiana e determinante jacobiano dell'inversa.

Esercizi: i) Integrale della funzione 1/(x^2+y^2) sulla corona circolare di raggi 1 e 2.
ii) Area del parallelogramma curvilineo contenuto nel primo quadrante e delimitato dalle curve di
equazione y=x, y=2x, xy=1, xy=2.


Mar. 6 Nov. 2018 (2 ore) -- anticipazione della lezione di Ven. 9 Nov.

Cambiamento di variabili negli integrali doppi (contin.). Integrali doppi e simmetrie (dell'insieme
di integrazione e della funzione integranda): esempi illustrativi e giustificazione rigorosa
mediante opportuni cambi di variabili. Esercizio: il volume di un cono con base data da un insieme
piano E misurabile, e vertice a distanza h>0 dal piano (da completare).

Integrali multipli (excursus). Funzioni limitate in un n-intervallo Q (n=3 o n>3), suddivisioni
(o partizioni) di Q, somme inferiori e superiori di f (relative ad una suddivisione), definizione
per "f e' integrabile in Q". Caratterizzazione delle funzioni integrabili in un n-intervallo.
Teorema: Una funzione continua in un n-intervallo e' ivi integrabile. Estensione della definizione
al caso di funzioni definite in insiemi (limitati) di R^n.
Misura di Peano-Jordan. Sottoinsiemi di R^n misurabili secondo Peano-Jordan; insiemi trascurabili.
Caratterizzazione degli insiemi di misura n-dimensionale nulla (s.d.). Esempi illustrativi.
Proposizione: Il grafico di una funzione f integrabile in un insieme misurabile E di R^{n-1} ha
misura (n-dimensionale) nulla. Caratterizzazione degli insiemi misurabili in R^n (s.d.).


Mer. 7 Nov. 2018 (2 ore)

Integrali multipli (contin.). Validita' delle proprieta' dell'integrale (linearita', monotonia,
ecc.) nel caso n>2. Integrabilita' di f continua in un compatto misurabile e di f limitata e
continua in un aperto misurabile. Teorema: formule di riduzione per l'integrale di una funzione
di n variabili su un n-intervallo. Il caso n=3: integrazione su insiemi semplici rispetto ad un
asse (cosiddetta "per fili"), integrazione "per strati". Esempi illustrativi: calcolo del volume
di un tetraedro in due modi diversi.


Ven. 9 Nov. 2018 (0 ore) -- lezione anticipata Mar. 6 Nov.


9^ Settimana

Lun. 12 Nov. 2018 (1 ora) -- causa I prova scritta in itinere nel pomeriggio 

Cambiamento di variabili negli integrali multipli (contin.). Enunciato del Teorema (s.d.),
ipotesi. Cambi di variabili in R^3: coordinate cilindriche e loro applicazione al calcolo
del volume dei solidi di rotazione (il Teorema di Pappo). Volume del toro (per esercizio).
Coordinate sferiche (per esercizio).

Lun. 12 Nov. 2018 (3 ore circa, coadiuvata dalla Prof.ssa Chiara Bianchini)

Prima prova in itinere, presso le aule 25 e 37 del Blocco Aule, Polo Scientifico di Sesto F.
(Impegno orario: 3 ore circa, inserite alla voce "Prove di profitto" nel Registro delle attivita'
didattiche) 


Mer. 14 Nov. 2018 (2 ore)

Campi vettoriali e forme differenziali lineari di grado 1 (1-forme). Esempio introduttivo: il campo
gravitazionale; si osserva che esso e' il gradiente di un'opportuna funzione scalare (in R^3 privato
di O). Altri esempi: il campo di velocita' di un fluido. Definizione di campo vettoriale e di
1-forma differenziale; il campo vettoriale associato ad una forma, corrispondenza biunivoca tra
campi e 1-forme.
Lavoro di un campo (continuo) in un aperto Omega di R^n lungo un arco di curva C^1 con sostegno in
Omega. Estensione al caso di curve regolari a tratti. Il lavoro dipende dall'orientazione sulla
curva (dim. per esercizio). Il lavoro di un campo conservativo lungo una curva congiungente p_1 a
p_2, orientata da p_1 a p_2, dipende solo dagli estremi p_1 e p_2, ma non dalla curva. Integrale di
una forma differenziale esteso ad una curva regolare a tratti (integrali curvilinei anche detti "di
II specie"). Campi conservativi in un aperto Omega di R^n: definizione, funzione/i potenziale.
Parallelamente: forme differenziali esatte in Omega, loro primitive. Perche' l'aggettivo
"conservativo": Teorema dell'energia cinetica, conservazione dell'energia.

Ven. 16 Nov. 2018 (2 ore)

Campi vettoriali e 1-forme (contin.). Caratterizzazione dei campi conservativi (delle forme
differenziali esatte) in un aperto Omega di R^n. Teorema (fondamentale del calcolo integrale):
enunciato e dim. Campi a circuitazione nulla. Esempio di forma differenziale non esatta nel suo
dominio naturale. Condizioni necessarie e/o sufficienti affinche' un campo sia conservativo (una
1-forma sia esatta) in un aperto Omega di R^n. Campi di classe C^1: una condizione necessaria
affinche' un campo sia conservativo (una 1-forma sia esatta) in Omega. Il vettore rot F(x),
condizione di irrotazionalita'. Forme chiuse in Omega. La condizione rot F=0 in Omega non e'
sufficiente (cfr. esempio discusso) a garantire la conservativita' (globalmente) in Omega.
Condizioni sufficienti: forme differenziali chiuse in domini stellati, il Lemma di Poincare' (dim.
procrastinata alla lezione successiva). Corollario: Un campo vettoriale C^1(Omega), irrotazionale
in Omega, e' localmente conservativo.


10^ Settimana

Lun. 19 Nov. 2018 (3 ore)

Campi vettoriali e forme differenziali (contin.). Esempi illustrativi di insiemi convessi,
stellati, semplicemente connessi (e non convessi, ecc.). Per un sottoinsieme di R^n le proprieta'
di essere connesso, semplicemente connesso, stellato, convesso sono via via, nell'ordine, piu'
forti. Lemma di Poincare': enunciato e dimostrazione. 
Esercizio: Calcolo del lavoro di un campo di forze lungo un'arco di curva (discussi tre metodi,
con enfasi sulla determinazione esplicita di potenziali-primitive).

Integrali multipli in senso generalizzato. Generalizzazioni legate all'assenza di una o di entrambe
le proprieta' "Omega contenuto in R^n e' limitato", "la funzione f e' limitata in Omega".
Il caso di funzioni non negative, limitate su Omega non limitato: definizione di successione di
insiemi Omega_n che "invadono" Omega, definizione di "f e' integrabile in Omega".
Il valore dell'integrale non dipende dalla specifica successione scelta (indicazioni per la dim.).
Applicazione di rilievo: la funzione di Gauss f(x,y)=exp(-x^2-y^2) e' integrabile in R^2, ed il
valore dell'integrale e' pi (greco). Implicazioni: l'integrale di exp(-x^2) in R e' pari a 
(pi)^{1/2}; l'integrale di exp(-||x||^2) in R^n e' pari a (pi)^{n/2} (dim. rimandata). 
  

Mer. 21 Nov. 2018 (3 ore, di cui 2 di lezione)

1^ ora: restituzione e discussione degli elaborati (relativi alla prima prova in itinere) corretti.

2^-3^ ora: Campi vettoriali e forme differenziali (contin.). Proposizione (dim.): Sia omega una
forma differenziale continua in un aperto connesso A di R^n. Se omega e' esatta, e f e' una sua
primitiva in A, le primitive di omega sono tutte e sole della forma f+c, con c in R.
Il risultato e' conseguenza del risultato seguente -- estensione al caso di n>1 variabili di un
risultato noto per funzioni derivabili in un intervallo (per n=1, conseguenza del Teorema di
Lagrange). Proposizione (dim.): Una funzione f (a valori reali) di classe C^1 in un aperto connesso
A di R^n, con grad(f) identicamente nullo in A, e' costante. (L'implicazione non e' vera, in
generale, se A non e' connesso.)
Famiglie a due o piu' parametri di primitive, in relazione al numero di componenti connesse di A.

Integrali multipli in senso generalizzato (contin.). L'integrale di exp(-x^2) in R e' pari a
(pi)^{1/2} (dim.). Per esercizio: l'integrale di exp(-||x||^2) in R^n e' pari a (pi)^{n/2}.
Integrale in senso generalizzato di funzioni non limitate in insiemi limitati (misurabili secondo
Peano-Jordan). Un caso paradigmatico: integrabilita' in senso generalizzato di f(x)=||x||^{-alfa}
in B(0,1)\{0}, al variare di alfa >0; studio esplicito in dimensione n=2.

Per esercizio: i) integrabilita' in senso generalizzato di f(x)=||x||^{-alfa} in B(0,1)\{0},
nel caso n=3; ii) integrabilita' in senso generalizzato di f(x)=||x||^{-alfa} in R^n\B(0,1).

Ven. 23 Nov. 2018 (2 ore)

Invertibilita' di trasformazioni F di classe C^1 in A aperto di R^n, a valori in R^n. La condizione
di jacobiana non singolare in ogni punto non e' sufficiente a garantire l'invertibilita' globale,
se n>1; esempio illustrativo (esponenziale). Diffeomorfismi locali. Il Teorema dell'inversa locale
(s.d.).

Superfici in forma parametrica: definizione, equazioni parametriche, esempi illustrativi. Superfici
cartesiane. Linee coordinate. Superfici regolari: definizione, interpretazione della condizione di
regolarita' (per mezzo del Teorema dell'inversa locale: una superficie regolare e' localmente una
superficie cartesiana). Piano tangente e versori normali alla superficie in un punto.

[Per casa (entro la lezione del 30 Nov.): Introduzione alla formula per l'area di una superficie
regolare: parallelogramma curvilineo ed elemento infinitesimale di area.
Riferimento: "Appunti di Analisi matematica 2" dal sito http://people.dm.unipi.it/acquistp/
ad opera di Paolo Acquistapace (UniPI).] 

11^ Settimana

Lun. 26 e Mer. 28 Nov. 2018 (0 ore) -- docente assente per motivi di servizio

Ven. 30 Nov. 2018 (2 ore) -- sostituita dal Prof. De Pascale

Superfici parametriche (continuazione). Esercizi sulla regolarita' o regolarita' a tratti di
superfici. Parametrizzazioni e calcolo dell'area di alcune superfici di tipo diverso (cartesiana,
rigata, di rotazione). Calcolo di elementi di area e versori normali. Esempio sull'orientazione di
una superficie.


12^ Settimana

Lun. 3 Dic. 2018 (3 ore)

Formule di Green nel piano (dim.). Si nota l'utilizzo nella dimostrazione della derivazione di
integrali dipendenti da un parametro (cfr. Approfondimento 20 Nov. 2018).
Conseguenze: 1. Formule per l'area di domini piani. Esercizio: area del dominio racchiuso
dall'astroide. 2. Teorema della divergenza (dim.). 3. Teorema di Stokes (dim.).


Mar. 4 Dic. 2018 (2 ore) -- lezione integrativa, in assenza del Prof. Ciulli

Superfici parametriche (continuazione). Cambi di parametro regolari, invarianza dell'area di una
superficie regolare, a seguito di cambi di parametri regolari. Superfici orientabili. Area di una
superficie di rotazione, Teorema di Guldino. 
Esercizio: parametrizzazione ed area di una superficie che costituisce la frontiera di un solido.
Per casa: verifica del fatto che il nastro di Moebius non e' una superficie orientabile.

Mer. 5 Dic. 2018 (2 ore)

Discussione di due esercizi (cfr. lezione precedente e ricevimento pomeridiano di lun. 3 Dic.)
sul calcolo di aree di superfici regolari a pezzi ed integrali tripli, con interventi attivi
di allievi/e.

Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO). Cos'e' un'EDO, il perche' dell'aggettivo "ordinarie".
Esempi illustrativi di EDO (crescita e decadimento, crescita con risorse limitate, oscillatore
armonico, ecc.) e di equazioni a derivate parziali (equazione del calore, equazione della corda
vibrante, ecc.). Forma generale, ordine e tipo dell'equazione; EDO lineari. EDO in forma normale.
Da un'EDO scalare di ordine n ad un sistema del I ordine. Definizione di soluzione di un'EDO di
ordine n. Condizioni ausiliarie: condizioni "iniziali", problema di Cauchy per un'EDO (scalare) del
prim'ordine, problema ai limiti. 
Questioni di rilievo per le soluzioni del problema di Cauchy: esistenza e unicita', esistenza
globale, dipendenza continua dai dati; regolarita'. EDO non lineari e scoppiamento in tempo finito
(fenomeno del blow-up).
[Per casa: i) verificare il fenomeno del blow-up per la soluzione del problema y'=y^2, y(0)=1;
ii) determinare tutte le soluzioni dell'equazione logistica y'=y(L-y) (L>0 dato) descrivendole sia
in forma implicita che esplicitamente, in dipendenza da y_0=y(0).]

Ven. 7 Dic. 2018 (2 ore)

EDO (contin.). Soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione y'=f(t,y). L'ipotesi "f continua in
un A aperto di R^2" garantisce l'esistenza di almeno una soluzione (Teorema di Peano, s.d.). Non
unicita' delle soluzioni: il problema y'=y^{1/3}, y(0)=0 ammette infinite soluzioni (ricavate
esplicitamente); piu' precisamente, una famiglia di funzioni dipendente da due parametri reali
(pennello di Peano).
Preambolo introduttivo al Teorema di Cauchy-Lipschitz: la ricerca di soluzioni del problema di
Cauchy y'=f(t,y), y(t_0)=y_0, e' ricondotta alla ricerca di soluzioni continue di un'opportuna
equazione integrale. Spazi metrici completi: definizione, esempi; l'insieme dei numeri razionali
Q con la metrica euclidea non e' completo. Punti fissi per applicazioni tra spazi metrici, il
Teorema di Banach-Caccioppoli (enunciato, dim. rimandata).


13^ Settimana

Lun. 10 Dic. 2018 (3 ore)

EDO (contin.). Funzioni f(t,y) localmente lipschitiziane in y, uniformememnte in t: definizione,
una condizione sufficiente, esempi illustrativi. Teorema (di esistenza e unicita', o di 
Cauchy-Lipschitz; dim.). La funzione g(y)=y^{1/3} non e' lipschitziana rispetto a y in nessun
intorno di (0,0). Se f soddisfa le ipotesi di regolarita' del Teorema (di Cauchy-Lipschitz) in un
aperto di R^2, i grafici di due soluzioni di y'=f(t,y) non si intersecano (in caso contrario,
verrebbe a mancare l'unicita' della soluzione di un problema di Cauchy ad essa associato).
Prolungamenti, soluzione massimale. Esistenza ed unicita' globale. Esercizio: si dimostra che per i
problemi di Cauchy associati all'equazione x' = log(1+x^2) nell'incognita x=x(t) vi e' unicita' di
una soluzione in grande (globale). Testi di tre esercizi.


Mer. 12 Dic. 2018 (2 ore)

EDO (contin.). Precisazioni sull'unicita' della soluzione (locale) ottenuta nel Teorema di 
Cauchy-Lipschitz. Regolarita' delle soluzioni dell'equazione y'=f(t,y) quando f appartiene a
C^k(A) o a C^infty(A). 
Richiami (dal corso Analisi Mat. I): integrale generale dell'equazione lineare y'=a(t)y+b(t), con
coefficienti continui in un intervallo I; espressione della soluzione del problema di Cauchy ad
essa associato. Nel caso lineare le soluzioni massimali sono globali. Equazioni (non lineari) a
variabili separabili.
Altre equazioni: equazioni (non lineari) riconducibili ad equazioni lineari: l'equazione di
Bernoulli. Equazioni esatte y'=-P(x,y)/Q(x,y): descrizione della soluzioni in forma implicita (si
richiama l'enunciato del Teorema di Dini in relazione all'insieme definito da f(x,y)=f(x_0,y_0));
approssimazione quadratica di una soluzione del problema di Cauchy. Eventuale ricerca di un fattore
integrante per la forma differenziale P(x,y)dx+Q(x,y)dy.
[Per casa: equazioni di Riccati, equazioni omogenee]

Teoremi di esistenza e unicita' (locale e globale) per sistemi del I ordine della forma y'=f(t,y),
con y(.) a valori in R^n: validita' dei risultati discussi (nel caso n=1). Equazioni lineari di
ordine n, il sistema lineare a cui esse sono ricondotte. La continuita' delle entrate della matrice
A(.) e delle componenti di b(.) in un intervallo I e' sufficiente a garantire esistenza (e unicita')
di soluzioni globali dei problemi di Cauchy associati al sistema y'=A(t)y+b(t). Equazione omogena.
Lo spazio delle soluzioni dell'equazione omogenea e' uno spazio vettoriale di dimensione n; lo
spazio delle soluzioni dell'equazione non omogenea e' uno spazio affine (dim. rimandata).


Ven. 14 Dic. 2018 (2 ore)

Equazioni differenziali ordinarie (EDO) (contin.). EDO lineari di ordine n a coefficienti costanti.
L'equazione omogenea associata: decomposizione dell'operatore differenziale di ordine n mediante la
scomposizione in fattori di un polinomio di grado n (problema puramente algebrico), l'equazione
caratteristica. Costruzione di un sistema di soluzioni linearmente indipendenti (dell'EDO omogena).
L'integrale generale dell'equazione completa. Ricerca di una soluzione particolare dell'equazione
completa: alcuni esercizi illustrativi del metodo dei coefficienti indeterminati, pertinenete nel
caso in cui il termine non omogeno f(t) e' della forma p_m(t)exp(mu t), con p_m(t) polinomio di
grado m. Metodo di variazione delle costanti (per esercizio).


14^ Settimana

Lun. 17 Dic. 2018 (3 ore)

Successioni di funzioni. Introduzione. Limite della successione numerica f_n(x), per x fissato:
concetto di convergenza puntuale. Esempio illustrativo: determinazione del limite puntuale f(x)
della successione f_n(x)=x^n, con x appartenente a [0,1]. La convergenza puntuale non preserva,
in generale, le proprieta' di limitatezza o di continuita' possedute da f_n (esempi illustrativi).
Richiami: spazi metrici, convergenza di una successione x_n in uno spazio metrico X. Lo spazio B(I)
delle funzioni limitate in un intervallo reale I, lo spazio C_b(I) delle funzioni continue e
limitate in I, con la metrica lagrangiana. Il concetto di convergenza uniforme, confronto tra
convergenza puntuale e uniforme.
Rilevanza della convergenza uniforme: 1. Le proprieta' di limitatezza e 2. di continuita' di f_n in
A contenuto in R sono preservate se vale la convergenza uniforme in A (dim. 2.).
3. Convergenza uniforme e passaggio al limite sotto il segno di integrale (dim. nella lezione
successiva). 4. Convergenza uniforme e passaggio al limite sotto il segno di derivata (enunciato
generale, e dim. nell'ipotesi piu' forte "f_n appartiene a C^1((a,b)))"; cfr. lez. successiva).


Mer. 19 Dic. 2018 (3 ore circa)

Seconda prova in itinere, presso l'aula 37 del Blocco Aule, Polo Scientifico di Sesto F.
(Impegno orario: 3 ore circa, inserite alla voce "Prove di profitto" nel Registro delle attivita'
didattiche) 


Ven. 21 Dic. 2018 (3 ore)

Successioni e serie di funzioni (contin.). (Si corregge l'enunciato del Teorema 4. di cui alla
lezione precedente, e se ne completa la dimostrazione.) Un esercizio: determinazione del limite
puntuale di una successione di funzioni, e dimostrazione della convergenza uniforme nell'insieme
di convergenza. Convergenza uniforme e passaggio al limite sotto il segno di integrale (dim. nel
caso di f_n appartenente a C^0([a,b])).

Serie di funzioni. La convergenza (puntuale, uniforme) di una serie di funzioni in un sottoinsieme
A di R e' la convergenza (rispettivamente: puntuale, uniforme) della successione delle somme
parziali ad essa associata. Difficolta' legata all'assenza, in generale, di un'espressione esplicita
della somma della serie. Criteri di convergenza (puntuale, uniforme) di Cauchy. Un risultato di
rilievo che fornisce condizioni sufficienti per la convergenza uniforme di una serie di funzioni:
il Criterio di Weierstrass (dim.). Serie di funzioni in spazi normati e completi (detti di Banach),
convergenza totale. Relazione tra convergenza totale, uniforme, assoluta, puntuale. Esempio
illustrativo: la serie di termine generale (-1)^{n-1}x^n/n, n maggiore o uguale a 1 (da discutere).

Serie di potenze reali e complesse (un excursus rapidissimo). Sono serie di funzioni con termine
generale f_k(x)=a_k(x-x_0)^k, ove x_0 e' dato e {a_k}_k e' una successione reale (piu' in generale,
il termine generale e' f_k(z)=c_k(z-z_0)^k, con z_0 e {c_k}_k nel campo dei numeri complessi C).
Non e' restrittivo studiare il caso in cui x_0=0 (z_0=0). 
Elementi e fatti principali: i) Se una serie di potenze (con termine generale a_kx^k) converge in y
diverso da zero, allora essa converge (assolutamente) in x, con |x|<|y|. ii) Raggio di convergenza:
definizione, struttura dell'insieme di convergenza; un criterio per il calcolo del raggio di
convergenza. iii) Una serie di potenze (di termine generale a_kx^k) che ha raggio di convergenza
R>0 converge (totalmente, e quindi) uniformemente nei compatti di (-R,R). iv) La somma di una serie
di potenze con raggio di convergenza R>0 e' una funzione continua in I=(-R,R). (In realta', si puo'
dire di piu': essa e' analitica in I.)