AA 2018/19
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Insegnamento: ANALISI SUPERIORE
Docenti: Francesca Bucci & Luigi De Pascale


			REGISTRO delle LEZIONI


1^ Settimana

Lun. 4 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Introduzione ai problemi di controllo. Problemi di controllo di dimensione finita: descrizione,
esempi, definizioni, proprieta'.


Mar. 5 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Calcolo dell'insieme dei controllabili nel caso del carrello con due motori. Introduzione del
problema della controllabilita'.


Gio. 7 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Per un sistema di controllo Non Lineare Autonomo (NLA) l'insieme dei controllabili è connesso per
archi e 0 e' interno se e solo se l'insieme dei controllabili e' aperto. Per un sistema Lineare
Autonomo (LA) si ha, in piu', che l'insieme dei controllabili e' simmetrico e convesso. Esempio di
sistema LA con un insieme di controllabili che non e' aperto (e quindi, in particolare non e'
completamente controllabile).


2^ Settimana

Lun. 11 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Problema di controllo Lineare autonomo: L'insieme dei controllabili e' aperto se e solo se la
matrice di controllabilita' ha rango massimo.

Mar. 12 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Problema di Controllo Lineare autonomo: Il sistema e' completamente controllabile se e solo se la
matrice di controllabilita' ha rango massimo e tutti gli autovalori di A hanno parte reale
negativa. 


Gio. 14 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Equazioni differenziali ordinarie. Teorema di esistenza, unicita' e dipendenza continua dai dati
iniziali per il problema di Cauchy vettoriale del primo ordine in cui f dipende in modo solo
misurabile dal tempo. Il caso Lineare a coefficienti costanti, l'esponenziale di una matrice e la
proprieta' di semigruppo. 


3^ Settimana

Lun. 18 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Linearizzazione e controllabilita' in un intorno di 0 per sistemi non-lineari autonomi.

Mar. 19 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Alcuni esempi sulla controllabilita' di problemi non-lineari autonomi. Completa controllabilita'
per sistemi autonomi.

Gio. 21 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Controllabilita' mediante controlli costanti a tratti e controllabilita' generale. Un esempio sui
problemi a controllare un sistema con controlli Bang-Bang. Introduzione ai controlli in tempo
ottimale di un sistema lineare ed autonomo. Esistenza di un controllo in tempo ottimale. 
Primo utilizzo delle proprieta' integrali dello spazio dei controlli. 

4^ Settimana

Lun. 25 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Alcune proprieta' della distanza di Hausdorff. Controlli estremali ed estremalita' dei controlli
ottimi.

Mar. 26 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Caratterizzazione dei controlli estremali e dunque dei controlli ottimi per (LA). Studio
qualitativo di alcuni esempi. Nozione di normalita' per un problema di controllo (LA). 
Unicita' del controllo ottimo. Unicita' della traiettoria ottima. 

Gio. 28 Mar. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Lezione cancellata.

5^ Settimana

Lun. 1 Apr. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Il bang-bang principle per sistemi lineari autonomi.

Mar. 2 Apr. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Studio dell'unicita' delle traiettorie e dei controlli. Caratterizzazione geometrica ed analitica
della normalita' di un sistema di controllo lineare autonomo.

Gio. 4 Apr. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

Formulazione di un problema di controllo ottimo generale (non lineare e non autonomo) e con costo
non lineare. Problemi e strategia per la soluzione. Compattezza dei controlli e controlli piu'
regolari. Esistenza nello spazio dei controlli Lipschitz.

6^ Settimana

Lun. 8 Apr. 2019 (2 ore) -- De Pascale L.

...

Mar. 9 Apr. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Piano dei temi che verranno toccati nel proseguo dell'insegnamento. (i) Sistemi di controllo
infinito-dimensionali. Motivazioni: in una varieta' di questioni riguardanti (il controllo di)
Equazioni a Derivate Parziali (EDP) di evoluzione. I concetti di raggiungibilita',
controllabilita', stabilizzabilita', osservabilita', controllo ottimo permangono in dimensione
infinita. Sistemi di controllo lineari in spazi di dimensione infinita. Una digressione necessaria:
teoria dei semigruppi di operatori. (ii) Controllo ottimale, e in particolare controllo
lineare-quadratico. Problemi in orizzonte di tempo finito o infinito. Programmazione dinamica,
equazione di Bellman; equazioni di Riccati.

Controllo ottimale: il problema di Bolza in dimensione finita. Due approcci: Programmazione
dinamica ed equazione di Bellman vs Principio del massimo di Pontryagin (il secondo sara' il tema
di un seminario tenuto dagli studenti, valido ai fini della prova d'esame). Programmazione
dinamica: un'introduzione euristica all'equazione di Bellman.

Gio. 11 Apr. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Controllo ottimale di sistemi finito-dimensionali. L'equazione di Bellman e la funzione valore:
un Teorema (enunciato e dim.); cfr. Thm 1.1, p. 128, nel testo di J. Zabczyk. La (cosiddetta)
closed-loop equation, rappresentazione del controllo ottimale in forma di retroazione (feedback).
Un esempio illustrativo: un semplice modello per la ripartizione di un capitale tra investimenti
e consumi; soluzione dell'eq. di Bellman, strategia ottimale.

7^ Settimana

Lun. 15 Apr. 2019 (0 ore) -- Bucci F.

Lezione rimandata per contemporanea prova scritta di Analisi Mat. II (CdL in Fisica e Astrofisica)


Mar. 16 Apr. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Controllo ottimale di sistemi finito dimensionali (contin.). Controllo lineare quadratico in
orizzonte (di tempo) finito, equazione differenziale di Riccati (DRE) corrispondente. Teorema
(dim.): esistenza di un'unica soluzione dell'equazione di Riccati, espressione della funzione
valore, rappresentazione in forma di retroazione ("feedback") del controllo ottimale, closed-loop
equation.

Mer. 17 Apr. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Recupero lezione del 15 Apr.:
Discussione con gli studenti: risoluzione di un problema di controllo ottimale assegnato;
ricerca del massimo di un funzionale costo (cfr. Ex. 0.6 (Optimal consumption) dal testo di
riferimento di J. Zabczyk).

Gio. 18 Apr. 2019 e settimana 22-26 Apr. (0 ore)

Vacanze pasquali (CdL Magistrale in Matematica, AA 2018/19)

8^ Settimana

Lun. 29 Apr. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Controllo ottimale di sistemi finito dimensionali (contin.). Osservazione: se P(.) soddisfa la DRE
P'=Q+PA+A^*P-PBR^{-1}B^*P in [0,T], P(0)=P_0, allora P(T-.) soddisfa P'+PA+A^*P-PBR^{-1}B^*P+Q=0
in [0,T], P(T)=P_0.
Controllo lineare quadratico in orizzonte infinito, equazioni algebriche di Riccati (ARE).
Soluzione minimale della ARE. Teorema (dim.): l'esistenza di una soluzione P non negativa della ARE
garantisce l'esistenza di un'unica soluzione minimale della ARE; rappresentazione "feedback" del
controllo ottimale, closed-loop equation, valore minimo del funzionale costo.

Mar. 30 Apr. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Sistemi lineari (liberi) in R^n: z'=Az, con A matrice appartenente a M(n,n). Teorema (s.d.):
proprieta' di stabilita', caratterizzazione dei sistemi stabili. Sistemi lineari di controllo
y'=Ay+Bu. Proprieta' di stabilizzabilita': definizione; stabilizzabilita' completa. Teorema (s.d.):
la controllabilita' implica la stabilizzabilita' completa. Osservabilita' di una coppia (A,C):
definizione, caratterizzazione. Rilevabilita': definizione; l'osservabilita' della coppia (A,C)
implica la rilevabilita' di (A,C).

Gio. 2 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Controllo lineare quadratico in orizzonte infinito, equazioni algebriche di Riccati.
Teorema (dim.): Condizioni sufficienti a garantire l'esistenza di un'unica soluzione della ARE
corrispondente ad un problema di controllo ottimale (stabilizzabilita' di (A,B) e rilevabilita'
di (A,C)). Corollario: Se (A,B) e' controllabile, Q=C^*C, e (A,C) e' osservabile, allora la ARE
ha un'unica soluzione P; inoltre, la matrice A-BR^{-1}B^*P e' stabile.

9^ Settimana

Lun. 6 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori in spazi di Banach. Motivazioni: problemi
al contorno e ai valori iniziali (IBVP) per equazioni a derivate parziali (EDP) di evoluzione.

Mar. 7 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoria dei semigruppi: Dato uno spazio di Banach X, definizione di semigruppo fortemente continuo
(f.c.) S_t in X, per t non negativo. Definizione di gruppo S_t f.c. in X, con t in R.
Proprieta' asintotiche di S_t: (i) Proposizione (dim.): crescita esponenziale della norma di un
semigruppo. (ii) Il "tipo" omega_0 di un semigruppo S_t in X: definizione, Proposizione (dim.):
omega_0 come limite di t^{-1}log ||S_t||, per t che tende a +infty. Corollario: tipo di un
semigruppo e stime (di crescita) ottimali.

Gio. 9 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoria dei semigruppi (contin.). Esempio-esercizio: il semigruppo delle traslazioni nello spazio
X=C_{ub}(R_+) delle funzioni f (a valori reali) uniformemente continue nella semiretta chiusa
[0,infty), dotato della norma lagrangiana; ruolo cruciale della continuita' uniforme di f.
Esercizio: proprieta' della media integrale di S_{tau}x in (0,t). Semigruppi uniformemente
continui. Il semigruppo S_t delle traslazioni di cui sopra non e' uniformemente continuo.
Teorema: caratterizzazione dei semigruppi uniformemente continui (dim. procrastinata).

10^ Settimana

Lun. 13 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Digressione: alcuni preliminari. Funzioni definite in un intervallo I=(a,b) di R, a valori in uno
spazio di Banach X: definizioni di derivata, e di integrale esteso a I. Fatti di rilievo: (a) Una
funzione a valori in X continua in [a,b] e' ivi integrabile (dim. per esercizio). (b) Se f a valori
in X e' integrabile in [a,b], e A e lineare continuo da X in Y, allora Af e' integrabile in [a,b]
e A applicato all'integrale di f in [a,b] coincide con l'integrale di Af. (La proprieta' (b) e'
valida anche nel caso di operatori chiusi.)
Integrali impropri: estensione della definizione di integrale sulla falsariga del caso di funzioni
a valori reali. Stima della norma dell'integrale nel caso di funzioni continue (s.d.).
Media integrale di S_s x in (0,h), analogo del Teorema fondamentale del calcolo integrale.

L'algebra degli operatori lineari e continui (limitati) in uno spazio di Banach X. 
Operatori (lineari) chiusi: definizione, caratterizzazione, esempi, in particolare: Sia X = C([0,1])
con la norma del sup, D(A) = C^1([0,1]), Au=u'. L'operatore A non e' continuo (limitato): infatti,
u_n(s) =s^n e' tale che ||u_n||=1, mentre ||u_n'||=n$ per ogni n intero positivo.
Operatori chiudibili: definizione, caratterizzazione.

Mar. 14 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Operatori chiusi (contin.): per esempi di operatori richiudibili e di operatori non richiudibili,
si vedano le Note di A. Lunardi.

Teorema (dim.): caratterizzazione dei semigruppi uniformemente continui in uno spazio di Banach X.

Generatore di un semigruppo S_t: definizione, prime proprieta'. Proposizione (dim.): Il generatore
A di un semigruppo S_t in X e' un operatore chiuso con dominio denso.

Gio. 16 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Semigruppi e generatori (contin.). Teorema (dim.): Rappresentazione integrale dell'operatore
risolvente di A (come trasformata di Laplace del semigruppo S_t generato da A).
Semigruppi di contrazione. Teorema (Hille, Yosida): caratterizzazione dei semigruppi di contrazione,
con dim. di: Necessita', e Sufficienza, relativamente ai passi "1. Approssimanti di Yosida",
"2. Semigruppo generato dagli approssimanti di Yosida, loro proprieta'".

11^ Settimana

Lun. 20 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoremi di generazione (contin.). Conclusione della dimostrazione del Teorema di Hille-Yosida
(Sufficienza), specificamente con i passi "3. Definizione del semigruppo S_t" e "4. Il generatore
B di S_t coincide con A".
Esercizio: Descrizione dell'insieme risolvente del generatore del semigruppo di traslazione in
C_{ub}(R_+).
Esempio illustrativo: utilizzo del Teorema di Hille-Yosida per la buona positura di un problema
al contorno e ai valori iniziali per l'equazione del calore in X=C_0([0,pi]).
Esercizio (per casa): descrizione di insieme risolvente e spettro dell'operatore A definito da
Af = f'', f appartenente a C^2([0,pi]) e tale che f(0)=f(pi)=0.

Mar. 21 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoremi di generazione e applicazioni. Esempio illustrativo (contin.): utilizzo del Teorema di
Hille-Yosida per la buona positura di un problema al contorno e ai valori iniziali per l'equazione
del calore in X=L^p((0,pi)).
Estensione del Teorema di Hille-Yosida al caso di semigruppi generali (non di contrazione):
Teorema (Feller, Miyadera, Phillips, 1952, s.d.).

Operatori dissipativi in uno spazio di Banach X: definizione, esempi. Caratterizzazione degli
operatori dissipativi in spazi di Hilbert (dim.).
Teorema di Lumer-Phillips (dim. per casa). Corollario del Teorema di Lumer-Phillips (dim.),
relativo al caso in cui X e' uno spazio di Hilbert ed entrambi A e A^* sono dissipativi.

Gio. 23 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoremi di generazione e applicazioni (contin.). Utilizzo del Corollario del Teorema di
Lumer-Phillips (cfr. lezione precedente) per l'analisi di un IBVP per l'equazione del calore in un
dominio Omega limitato di R^n: la realizzazione del laplaciano in L^2(Omega), con condizioni al
bordo di Dirichlet, e' un operatore autoaggiunto e dissipativo.
Un Corollario del Teorema di Hille-Yosida (dim.). Esempi illustrativi: Un problema al contorno e
ai valori iniziali per l'equazione delle onde: calcolo dello spettro del generatore, dissipativita'
del generatore e del suo opposto, generazione di un gruppo f.c.
Discussione di un IBVP per l'equazione di Schroedinger (per esercizio). Teorema di Stone (s.d.).


12^ Settimana

Lun. 27 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoria dei semigruppi (contin.).
Stabilita': definizione di stabilita' esponenzialmente uniforme, stabilita' uniforme, stabilita'
forte, stabilita' debole per semigruppi fortemente continui in uno spazio di Banach X. Alcune
osservazioni: i) Le quattro definizioni sono equivalenti in dimensione finita (cfr. testo di
Zabczyk); ii) la gerarchia e' ovvia nel caso infinito-dimensionale; iii) esistono semigruppi
fortemente stabili che non sono uniformemente stabili in X (ad es., il semigruppo di traslazione a
sinistra in X=L^2([0,infty)); completare la dimostrazione); iv) esistono semigruppi debolmente
stabili che non sono fortemente stabili (ad es., il semigruppo di traslazione a sinistra in
X=L^2(R)); v) un semigruppo e' uniformemente stabile in X se e solo se e' uniformemente
esponenzialmente stabile (dim.). 
(vi) Esistono semigruppi che non verificano alcuna delle proprieta' di stabilita' introdotte; cfr.
Engel-Nagel, p. 298.)

Caratterizzazioni dei semigruppi S_t uniformemente (esponenzialmente) stabili o fortemente stabili
in X (s.d.): Il Teorema di Datko (cfr. Datko 1970, Pazy 1972), che utilizza l'integrale su [0,infty)
della funzione t ---> ||S_t x||^p, con p finito e maggiore o uguale a 1; estensioni del Teorema di
Datko (cfr. Rolewicz 1986, Littman 1989, Storozhuk 2007). Il caso in cui X e' uno spazio di
Hilbert: Teorema (Pruess, 1984) che riconduce la stabilita' uniforme di S_t in X alla limitatezza
dell'operatore risolvente sull'asse immaginario. (Cfr. anche Gearhart 1978, Greiner 1984).
Teorema (Borichev & Tomilov, 2010) che stabilisce i tassi di decadimento di ||S_t x||, per 
t ---> +infty, quando x appartiene al dominio del generatore, mediante stime ottimali
dell'operatore risolvente sull'asse immaginario.

Il problema di Cauchy y'=Ay, y(0)=y_0, con A generatore di un semigruppo f.c. in uno spazio di
Banach X. Il caso in cui y_0 appartiene a D(A): esistenza, unicita' (e rappresentazione) della
soluzione (dim.).

Mar. 28 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoria dei semigruppi (contin.).
Il Problema di Cauchy y'=Ay+f, y(0)=y_0, con A generatore di un semigruppo f.c. in X spazio di
Banach. Definizione di soluzione stretta (f in L^p o C^0). Possibili ostruzioni all'esistenza di
tale soluzione (2 esempi).
Definizione di soluzione forte (f in L^p o C^0).
Cfr. Prop. 3.3.3 Note di A. Lunardi (esistenza ed unicita' sol. stretta, solo enunciato).
Definizione di soluzione mild.
Teorema di esistenza e unicita' per la soluzione forte (con dim.). y appartiene a C^0 anche se f
e' soltanto in L^p.
Definizione di soluzione classica in L^p(0,T;X). Definizione di soluzione debole.

Gio. 30 Mag. 2019 (2 ore) -- Bucci F. 

Teoria dei semigruppi (contin.).
Introduzione ai semigruppi analitici.
Questione: dato che il risolvente R(lambda,A) e' la trasformata di Laplace del semigruppo S_t
generato da A, e' possibile ottenere una formula di rappresentazione di S_t come antitrasformata
di R? Risposta affermativa nel caso scalare. Definizione di operatore settoriale (con D(A) denso
in X). L'integrale di Dunford. Convergenza dell'integrale e indipendenza da theta.
Teorema:
    - S_t e' un semigruppo C^0 in X con generatore A.
    - Stime per ||S_t|| e ||AS_t||.
    - Prolungamento analitico di S_t; formula di Dunford.
Schema di dimostrazione. Cfr. Prop. 4.1.3 Note di A. Lunardi (senza dim.).


13^ (e ultima) settimana

Mar. 4 Giu.  2019 (2 ore) -- Bucci F.

Teoria dei semigruppi (contin.).
Teorema 4.1.2 Note A. Lunardi (s.d.). Prop. 4.1.9 Note A. Lunardi (s.d.). Confronto con il Teorema
di Hille-Yosida. Prop. 4.2.1 Note A. Lunardi (s.d.).
Esempio illustrativo: la realizzazione dell'operatore di Laplace in H=L^2(Omega) con condizioni al
bordo di Dirichlet e' un operatore dissipativo, autoaggiunto e con dominio denso in L^2(Omega),
quindi esso genera un semigruppo analitico.
Teorema: si torni a considerare il problema di Cauchy y'=Ay+f, y(0)=y_0. Se A e' generatore di un
semigruppo analitico di tipo negativo in H spazio di Hilbert e f appartiene a L^2(0,T;H), allora
y(t) soluzione forte e' anche stretta. Inoltre vale una stima per ||Ae^{tA}*f||_{L^2} (s.d.).

Comportamento asintotico. Spectrum determining condition. Prop. 4.6.1 Note A. Lunardi (s.d.).

Problemi di controllo per equazioni a derivate parziali (EDP) di evoluzione.
Equazione del calore in un dominio Omega (aperto) limitato di R^n, con frontiera regolare:
controllo distribuito su tutto Omega, oppure in un suo sottoinsieme proprio omega.
Condizioni al bordo di Dirichlet, Neumann, Robin. Formulazione astratta del problema al contorno e
ai valori iniziali, il problema di Cauchy y'=Ay+Bu, y(0)=y_0 in uno spazio di Hilbert H; proprieta'
dell'operatore A che descrive la dinamica libera, e dell'operatore di controllo B.

Gio. 6 Giu. 2019 (2 ore) -- Bucci F.

Problemi di controllo per equazioni a derivate parziali (EDP) di evoluzione.
Controllo sulla frontiera per l'equazione del calore con condizione al bordo di Dirichlet:
riduzione da un problema non omogeneo ad uno con dato al bordo omogeneo: estensione armonica del
dato al bordo, il metodo di Fattorini-Balakrishnan. Scaturisce un sistema di controllo y'=Ay+Bu,
con B operatore non limitato da L^2(Gamma) a L^2(Omega); B e' a valori in uno spazio di
estrapolazione.
Condizione al bordo di Neumann. 
Controllo lineare-quadratico in dimensione infinita, equazioni di Riccati con coefficienti
dati da operatori non limitati (solo un accenno).