AA 2017/18 Corso di Laurea triennale in Ingegneria Civile, Edile e Ambientale Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II Docente: Francesca Bucci Modulo del Corso Integrato "Analisi Mat. II & Probabilita'/Statistica" REGISTRO delle LEZIONI 1^ Settimana Mar. 26 Sett. 2017 (2 ore) Presentazione del modulo "Analisi Matematica II". Programma sintetico, prerequisiti, testo di riferimento e altri testi consigliati; organizzazione di lezioni e discussioni, ricevimento; prove d'esame. Introduzione: calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili a valori scalari e vettoriali: casi di rilievo, un rapido excursus su motivazioni ed applicazioni. Lo spazio R^n: i suoi elementi sono le n-uple (ordinate) x=(x_1,x_2,...,x_n), detti punti o vettori. Prodotto scalare, proprieta' del prodotto scalare. Il prodotto scalare induce una norma (detta euclidea): definizione, proprieta'; la disuguaglianza triangolare. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Gio. 28 Sett. 2017 (3 ore) Lo spazio R^n (continuazione). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, e disuguaglianza triangolare per la norma indotta da un prodotto scalare (dimostrate entrambe). Distanza (o metrica) indotta dalla norma euclidea, proprieta' della distanza: positivita', simmetria, disuguaglianza triangolare. Spazi metrici generali (X,d), ove X e' un insieme e d una metrica su X. La struttura metrica e' indipendente dalla struttura di spazio vettoriale. Esercizio: si introduca una metrica nell'insieme dei presenti in aula 120. Limiti di successioni a valori in uno spazio metrico: definizione. Il caso di R^n dotato della metrica euclidea. La struttura metrica consente di introdurre una Topologia in X. Definizione di intorno sferico (o "palla") di centro x_0 e raggio r>0. Gli intorni sferici in R^n dotato della metrica euclidea; i casi n=1,2,3: intervalli, dischi, palle. Sia D un sottoinsieme di X: punti interni, punti esterni; punti di accumulazione per D; illustrazione tramite esempi. Limiti di funzioni tra spazi metrici (X,d_X), (Y,d_Y). Il caso in cui X=R^n e Y=R^m, con la metrica euclidea. Calcolo del limite di f(x,y)=xy, per (x,y) che tende a (0,0). 2^ Settimana Mar. 3 Ott. 2017 (2 ore) Applicazioni tra spazi metrici (X,d_X), (Y,d_Y): limiti e continuita'. Il caso in cui X=R^n e Y=R^m, con la metrica euclidea. In procinto di introdurre le curve in forma parametrica, un primo caso di rilievo: t ---> r(t) definita in un intervallo reale I, a valori in R^n, n>1. La continuita' di r(t) in t_0 e' equivalente alla continuita' di ciascuna delle sue componenti (formalizzato e dimostrato). Introduzione alla curve. Esempi di curve (piane) note: grafici di funzioni di una variabile (una parabola con l'asse parallelo ad un asse coordinato, ecc.); luoghi geometrici definiti da un'equazione -- che non cadono nella categoria precedente dei grafici (ad esempio, una circonferenza). Curve in forma parametrica: definizione, (come applicazione r:I ---> R^n continua in I), sostegno della curva, orientazione, equazioni parametriche. Gio. 5 Ott. 2017 (3 ore) Curve (continuazione). Rappresentazione parametrica del segmento congiungente due punti e della retta passante per due punti. Curve distinte possono avere lo stesso sostegno. Curve semplici, curve chiuse. Curve (piane) cartesiane e polari. Discussione di esempi: disegno del sostegno della curva definita da r(t)= (t^2,t^3), con t appartenente a [-1,1]; derivazione dell'equazione polare della lemniscata di Bernoulli, a partire dalla sua equazione cartesiana. Il sito "mathcurve". Applicazioni r:I ---> R^n derivabili in t_0. Vettore derivato, interpretazione geometrica; curve di classe C^1. Curve regolari: definizione, esempi/esercizi (la spirale di Archimede e' una curva regolare). 3^ Settimana Mar. 10 Ott. 2017 (2 ore) Curve regolari (cont.). La condizione di regolarita' nel caso di curve (piane) cartesiane o polari. Introduzione alla lunghezza di una curva: parametrizzazioni definite in un intervallo chiuso e limitato I=[a,b], suddivisioni di I, poligonali corrispondenti, definizione di curva rettificabile e della sua lunghezza. Fatti di rilievo: 1. La continuita' della parametrizzazione non e' sufficiente a garantire che la curva sia rettificabile: esempio di curva (cartesiana) non rettificabile. 2. Le curve appartenenti a C^1 sono rettificabili (dim.); formula per la lunghezza (dim. completa come approfondimento). Le curve regolari a tratti sono di conseguenza rettificabili, e vale la formula di cui sopra. 3. La formula si estende alle curve regolari a tratti. Gio. 5 Ott. 2017 (3 ore) Esercitazione su (e discussione di) esercizi/problemi relativi ai temi affrontati ad oggi: calcolo della lunghezza di una curva, disegno del sostegno, determinazione di punti del sostegno a massima/minima distanza da un punto (anche in assenza di disegno). Formule per la lunghezza di una curva nel caso di curve (piane) cartesiane o polari. Curve regolari a tratti: def. rigorosa, esempi. Ascissa curvilinea o parametro arco, rappresentazione standard. Introduzione euristica all'integrale curvilineo (o di linea) di una funzione a valori reali: calcolo della massa totale di un filo pesante, non omogeneo, di cui sia nota la densita' lineare. Notazione corrente per gli integrali curvilinei (di I specie). Richiamare: Le funzioni iperboliche, le funzioni inverse delle funzioni iperboliche, con le loro derivate. Integrale indefinito di (a^2+x^2)^{1/2}, (a^2-x^2)^{1/2}, (x^2-a^2)^{1/2}; sostituzioni ad hoc. 4^ Settimana Mar. 17 Ott. 2017 (2 ore) Curve (continuazione e conclusione). Esercizio: calcolo della lunghezza di un filo descritto dalla spirale (logaritmica) di equazione polare rho = exp(-theta), theta in (0,infty), e della massa totale del filo, se la densita' di massa e' f(x,y) =(x^2+y^2)^2. Funzioni di piu' variabili, a valori reali. Definizione (con qualche richiamo) di: intorno sferico di centro x_0 e raggio r>0; punto interno, esterno, di frontiera per un insieme D contenuto in R^n; chiusura di D; simboli per parte interna, frontiera, chiusura di D. Insiemi aperti, insiemi chiusi. Insiemi limitati. Esempi. Proposizione: valgono i seguenti fatti: i) l'unione e l'intersezione di un numero finito di insiemi aperti (chiusi) e' aperto (chiuso); ii) piu' in generale, l'unione (l'intersezione) di una famiglia arbitraria di insiemi aperti (chiusi) e' un insieme aperto (chiuso); iii) l'intersezione (l'unione) di una famiglia arbitraria di insiemi aperti (chiusi) non e' in generale aperto (chiuso): e' sufficiente osservare che gli insiemi A_n=(-1/n,1/n), al variare di n intero positivo, sono aperti, mentre la loro intersezione e' {0}, che e' chiuso. (Per esercizio: dimostrare ii).) Domini di funzioni. Esercizio/esempio discusso: dare una descrizione analitica del dominio D della funzione f(x,y)=[arcsin(y-x^2)]/(y^3-x^3), disegnare D, ed elencare le sue proprieta' topologiche. Grafici. Richiamare: Integrali impropri per funzioni di una variabile. Formule di De Morgan relative a unione e intersezione insiemistica. Gio. 19 Ott. 2017 (3 ore) Funzioni di piu' variabili a valori reali (continuazione). Insiemi di livello: definizione, esempi (curve di livello delle funzioni di due variabili x^2+y^2, x^2-y^2, (x^2+y^2)^{1/2}); grafici relativi. Limiti di funzioni di piu' variabili: richiamo della definizione di limite finito, per x che tende a x_0; guida all'utilizzo della definizione, con discussione del limite della funzione f(x,y) =xy/[(x^2+y^2)^{1/2}], per (x,y) che tende a (0,0). Algebra dei limiti: Teoremi sul limite di somma, prodotto, reciproco, quoziente (s.d.). Teorema della permanenza del segno (s.d.), Teorema del confronto (s.d.). Funzioni continue in x_0, o in un insieme D di R^n: definizione, esempi. La classe C(D) (C^0(D)). I polinomi e le funzioni razionali sono funzioni continue. Continuita' di funzioni composte (s.d.). Esempi. Richiamare (dal corso Geometria): le quadriche. 5^ Settimana Mar. 24 Ott. 2017 (2 ore) Funzioni continue (cont.). Proposizione (con dim.): Se f e' una funzione continua in R^n, e c e' un numero reale, l'insieme A={x: f(x) R (ove D e' un sottoinsieme di R^n), dati x_0 interno a D ed una direzione v (vettore di norma unitaria), definizione di derivata direzionale di f in x_0, lungo v. Notazioni correnti. Derivate parziali prime, vettore gradiente in x_0; funzioni derivabili in un aperto. Due esempi/esercizi: calcolo del gradiente di f(x,y)=x^2 y + log(y), e di g(x,y)= log(tan(x/y)), con (x,y) in un aperto opportuno. Il ruolo del Teorema di derivazione delle funzioni composte (per funzioni di una variabile), e della regola della catena. Illustrazione dell'utilizzo della definizione per il calcolo di tutte le derivate direzionali della funzione che vale x se y=x, e zero altrimenti. 6^ Settimana Mar. 31 Ott. 2017 (2 ore) Calcolo differenziale in piu' variabili (cont.). Le derivate parziali/direzionali sono inadeguate ai fini dell'estensione (a dimensioni n>1) del concetto di derivata: esempio di funzione di due variabili) che ammette derivate direzionali in (0,0) ma non e' ivi continua. Richiami: derivata prima in x_0 ed approssimazione lineare per una funzione f (a valori reali) di una variabile. Funzioni (a valori reali) di n variabili, con n>1: definizione di "f e' differenziabile in un punto x_0" interno al suo dominio; formula asintotica, struttura del funzionale lineare (il differenziale in x_0), riformulazione della definizione. Proposizione (con dim.): "Siano f definita in un sottoinsieme D di R^n, x_0 interno a D. Se f e' differenziabile in x_0, allora (i) f e' continua in x_0; (ii) f possiede tutte le derivate direzionali in x_0, e vale la formula (cosiddetta del gradiente) D_vf(x_0)=(grad f(x_0),v), per ogni direzione v." Direzioni di massima e minima crescita. Gio. 2 Nov. 2017 (3 ore) Funzioni differenziabili in un punto x_0 o in un aperto A di R^n (cont.). Differenziabilita' di f ed approssimazione lineare; interpretazione geometrica, con particolare riferimento al caso n=2: equazione del piano tangente al grafico di f in (x_0,y_0,f(x_0,y_0)), vettore/i e versore/i normale/i. Iperpiano tangente. Le derivate parziali prime di una funzione, se esistono in ogni punto di un aperto A di R^n, sono esse stesse delle funzioni di piu' variabili, a valori reali. Il Teorema del differenziale totale (con incipit della dim.). Corollario del Teorema del differenziale totale. Funzioni con derivate parziali prime continue in un aperto A di R^n: la classe C^1(A). Un quadro delle relazioni che intercorrono tra le proprieta' seguenti: "f appartiene a C^1(A)", "f e' differenziabile in A", "f possiede tutte le derivate direzionali in A", "f appartiene a C^0(A)". Esempio di funzione differenziabile in A che non appartiene a C^1(A). Esercizio: si discute la differenziabilita' della funzione f(x,y)=(x^2+y^2)^{1/2} e piu' in generale della funzione ||x|| (norma di x), con calcolo del gradiente quando possibile; interpretazione geometrica del risultato. Equazione del piano tangente al grafico in un suo punto (ove possibile). Definizione di punto di massimo (minimo) assoluto o relativo per f in D. Il Teorema di Fermat (enunciato). La condizione grad f(x_0)=0 (per f differenziabile in x_0 interno a D) e' necessaria affinche' x_0 sia di estremo relativo per f in D, ma non sufficiente. 7^ Settimana Mar. 7 Nov. 2017 (2 ore) Punti di massimo e minimo relativo per f in D. Il Teorema di Fermat (dimostrato). La condizione grad f(x_0)=0 (per f differenziabile in x_0 interno a D) e' necessaria affinche' x_0 sia di estremo relativo per f in D, ma essa non e' sufficiente. Esercizio: ricerca degli estremi assoluti della funzione f(x,y)=(x+y+2)x^2 y nel triangolo K di vertici (-1,0), (0,0), (0,-1). Un approccio del tutto generale ai problemi di max/min: utilizzo del Teorema di Weierstrass (che garantisce a priori l'esistenza di estremi assoluti della funzione), analisi di f ristretta alla parte interna di K, con la ricerca degli eventuali punti critici, e separato studio di f sulla frontiera di K. Problemi di ottimizzazione vincolata: esempi, vincoli di uguaglianza. Problemi isoperimetrici. Gio. 9 Nov. 2017 (3 ore) Un problema di ottimizzazione vincolata: si cercano gli estremi di una funzione su un insieme di livello di una seconda funzione (vincolo di uguaglianza): verifica della validita' delle ipotesi del Teorema di Weierstrass, rappresentazione parametrica del vincolo, soluzione del problema (conclusione, per esercizio). Derivazione di funzioni composte. Uno scenario di particolare rilievo: il caso F(t):=f(r(t)), con t appartenente ad un intervallo I, ove r e' un'applicazione a valori in R^n e f e' una funzione a valori reali definita in un sottoinsieme di R^n contenente r(I). Condizioni sufficienti per la derivabilita' di F in t_0, regola della catena (Proposizione, con dim.). Illustrazione mediante esempi. Applicazioni. Sia dato un insieme di livello E di una funzione f di due variabili, di classe C^1 in un aperto A contenente E, con gradiente diverso da zero in p_0 appartenente ad E: allora grad f(p_0) risulta ortogonale ad E in p_0 (incidentalmente, si anticipano ipotesi e assunto del Teorema delle funzioni implicite). Insiemi di livello di funzioni (C^1) di due (tre) variabili che sono localmente il grafico di una funzione (C^1) di una (due) variabile/i. 8^ Settimana Mar. 14 Nov. 2017 (2 ore) Derivazione di funzioni composte (cont.). Un altro caso di rilievo: date una funzione phi (a valori reali) di una variabile, ed una funzione f (a valori reali) di piu' variabili, differenziabilita' della funzione phi(f(x)) in x_0, gradiente della funzione composta. Illustrazione tramite esempi. Funzioni definite implicitamente. Il Teorema delle funzioni implicite (o di Dini): enunciato nel caso di insiemi di livello di una funzione (scalare) di due variabili (dim. omessa). Regolarita' della funzione definita implicitamente da f(x,y)=0 in un intorno di p_0, approssimazione lineare della funzione implicita. Esercizio: L'insieme definito da xe^y+ye^x=0 e' in un intorno di (0,0) il grafico di una funzione x ---> y(x) di classe C^1 in un intorno I di x_0=0. Gio. 16 Nov. 2017 (2 ore circa) (In circa 30 dei primi 45 minuti interviene la Prof.ssa Sandra Furlanetto, Prorettrice all'Orientamento di UniFI, che sottopone agli/alle studenti/esse un questionario) Il Teorema delle funzioni implicite (cont.). Insiemi di livello regolari, punti regolari. Enunciato nel caso di insiemi di livello di una funzione (scalare) di tre variabili (dim. omessa); approssimazione lineare della funzione implicita. Problemi di ottimizzazione vincolata. Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange nel caso in cui il vincolo e' l'insieme di livello di una funzione scalare di due (o tre) variabili: introduzione euristica/intuitiva, enunciato del Teorema. La funzione lagrangiana. Esercizio: si ritorna al problema di determinare i valori estremi della funzione (x+y)^3/3 nell'insieme definito da (x+y)^2+y^2=4; valori estremi e punti di estremo assoluto. 9^ Settimana Mar. 21 Nov. 2017 (2 ore) Ottimizzazione vincolata (cont. e conclusione). Un problema isoperimetrico: si determinino le dimensioni di un parallelelepipedo di volume assegnato, affinche' la superficie sia massima. Tre metodi per risolvere il problema: riduzione ad un problema di ottimizzazione libera di una funzione di due variabili; utilizzo delle medie armonica e geometrica; utilizzo del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (conclusione per esercizio). Derivate successive. Derivate parziali seconde di una funzione di n variabili: definizione, esempi. Derivate seconde pure, derivate miste. Matrice hessiana. Se esistono tutte, le derivate seconde sono n^2. Condizioni sufficienti affinche' due derivate miste f_{ij)(x) e f_{ji}(x) coincidano: il Teorema di Schwarz (s.d.). Esempio di funzione di due variabili che possiede entrambe le derivate seconde miste in un punto, distinte tra loro. Funzioni di classe C^2 in un aperto A di R^n. Gio. 23 Nov. 2017 (3 ore) Derivate successive (cont.). Funzioni (a valori reali) di classe C^2 in un aperto di R^n. La classe C^2(A) e' contenuta nella classe C^1(A). Si richiama la formula di Taylor per funzioni di una variabile, con resto di Lagrange. Si deduce la formula di Taylor per f (di piu' variabili) appartenente a C^2(A), con centro in x_0 e resto di Lagrange; da quella si deduce la formula di Taylor con resto di Peano. Forme quadratiche. Applicazioni delle formule. Approssimazione lineare, approssimazione quadratica. Differenziale primo e secondo. Funzioni di n variabili a valori in R^m, n, m>1. Il caso n=2, m=3: superfici in forma parametrica. Il caso n=m=3: campi vettoriali (esempio: campo di velocita' di un fluido). Definizione di funzione differenziabile in x_0, matrice jacobiana. Processi di diffusione, l'equazione del calore u_t=k Delta u (k costante di diffusione, dipende dal mezzo). Stati stazionari in processi di diffusione, l'equazione di Laplace. L'Operatore di Laplace (o laplaciano). Esercizio: determinare le funzioni armoniche a simmetria radiale/sferica in R^n\{0}, n=2,3. 10^ Settimana Mar. 28 Nov. 2017 (2 ore) Misura (di Peano-Jordan) per insiemi limitati di R^n (n>1), e integrale per funzioni (a valori reali) di piu' variabili. Il caso n=2. Quali proprieta' vanno preservate nell'introduzione di un concetto di area di un insieme piano limitato E. Poligoni contenuti in E, poligoni contenenti E, definizione di "E e' misurabile (o quadrabile)", area o misura di E. Criterio di misurabilita'. Insiemi di misura nulla (trascurabili). Caratterizzazione degli insiemi misurabili: TEOREMA: Un insieme E limitato di R^2 e' misurabile se e solo se la sua frontiera e' trascurabile (s.d.). Il grafico di una funzione f continua in un intervallo [a,b] e' trascurabile (dim.). (Incidentalmente, si introduce la definizione di funzione uniformemente continua in un intervallo I di R ed il Teorema di Cantor-Heine (cfr. testi di riferimento di Analisi Mat. I).) Insiemi piani semplici rispetto ad un asse: la loro frontiera e' l'unione di quattro curve cartesiane, ed e' pertanto di misura nulla in R^2; di conseguenza, un insieme semplice rispetto ad un asse e' misurabile. Integrale di una funzione f (a valori reali) limitata di due variabili su una regione limitata e misurabile E. Decomposizioni di E, somme inferiori e somme superiori, (integrale inferiore e integrale superiore), definizione di "f e' integrabile in E", valore dell'integrale; notazione. Gio. 30 Nov. 2017 (3 ore) Integrali di funzioni di due variabili (cont.). Si prova che: i) Una funzione costante (pari a c) in un insieme (limitato) misurabile e' integrabile, e l'integrale su E e' pari a c.m(E)]. ii) Esistono funzioni limitate non integrabili (esempio). Proprieta' dell'integrale: linearita', monotonia, additivita', media. Classi di funzioni integrabili: funzioni limitate e continue in E (s.d.) misurabile, funzioni limitate e continue in E ad eccezione che nei punti di un insieme trascurabile (s.d.). Il calcolo degli integrali: introduzione euristica alle formule di riduzione. L'integrale doppio di f in un rettangolo come integrale iterato (s.d.). Un esercizio. Insiemi semplici rispetto ad un asse: definizione di insieme y-semplice e x-semplice, esempi grafici; gli insiemi semplici sono chiusi e limitati. Formule di riduzione per funzioni continue in insiemi semplici rispetto ad un asse. Formule per il computo delle coordinate del centro di massa o centroide di un sistema materiale (e in particolare del baricentro di figura). 11^ Settimana Mar. 5 Dic. 2017 (0 ore) Lezione non effettuata per assenza della docente dovuta a motivi di servizio (partecipazione al pre-lancio del Progetto Franco-Italiano-Tedesco LIA COPDESC in Applied Analysis; si veda https://www.ljll.math.upmc.fr/scidays/index.html) Gio. 7 Dic. 2017 (3 ore) Calcolo degli integrali doppi. Esercizio: calcolo della massa di una lamina sottile identificata col triangolo di vertici (0,0), (3,1), (2,4), se la densita' di massa e' rho= x^2+y^2. Descrizione analitica del dominio come insieme semplice rispetto ad un asse. (Incidentalmente, si definiscono le funzioni min(g(x),h(x)) e max(g(x),h(x)).) Cambiamento di variabili negli integrali multipli: motivazioni, enunciato del Teorema; spiegazione euristica sulla presenza del modulo del determinante jacobiano della trasformazione. Area di un parallelogramma generato da due vettori linearmente indipendenti. Applicazione al calcolo dell'integrale I_R della funzione di Gauss f(x,y)=exp(-x^2-y^2) esteso al disco B(O,R) di centro O e raggio R. La funzione ed il dominio a simmetria radiale suggeriscono l'utilizzo di coordinate polari: trasformazione in coordinate polari, discussione sulla invertibilita' (iniettivita') dell'applicazione. Calcolo del limite di I_R, per R ---> + infty. 12^ Settimana Mar. 12 Dic. 2017 (2 ore) Calcolo degli integrali (cont.). Esercizio: Calcolo dell'area di un parallelogramma curvilineo, mediante introduzione di un cambio di coordinate. Diffeomorfismi (globali e locali): definizione, relazione tra le matrici jacobiane (e i determinanti jacobiani) di un diffeomorfismo T e di T^{-1}. Il calcolo degli integrali tripli. Possibili formule di riduzione. Integrazione (cosiddetta) `per fili'. Esercizio: determinazione del volume e del baricentro di un solido racchiuso tra una superficie conica ed un paraboloide. Gio. 14 Dic. 2017 (3 ore) Calcolo degli integrali tripli (cont.). Baricentro di figura per domini con simmetrie. Integrazione (cosiddetta) per strati. Volume dei solidi di rotazione. Cambiamento di variabili negli integrali tripli. Coordinate sferiche: parametri colatitudine e longitudine, determinante jacobiano. Coordinate cilindriche (per esercizio). Introduzione ai campi vettoriali: campo di velocita' di un fluido, campo gravitazionale. Campi stazionari. Linee di flusso. Lavoro di un campo di forze continuo in un aperto di R^n, lungo un arco di curva (orientata) regolare o regolare a tratti, contenuto in D. Integrali curvilinei (cosiddetti) di seconda specie. Campi vettoriali conservativi in una regione D: definizione, funzioni potenziale. Proposizione (dim.): Il lavoro di un campo conservativo (continuo in aperto A) lungo un arco di curva C^1 (o anche solo regolare a tratti) congiungente P_1 a P_2, orientata da P_1 a P_2, con sostegno in A, dipende unicamente dagli estremi e non dal cammino. Il caso di curve chiuse. Esempio di campo non conservativo nel suo dominio naturale. 13^ Settimana Mar. 19 Dic. 2017 (2 ore) Campi conservativi (continuazione). Il perche' dell'aggettivo conservativo: Teorema dell'energia cinetica e principio di conservazione dell'energia (dim.). Circuitazione di un campo. Caratterizzazione dei campi conservativi (dim. in parte). Campi di classe C^1. Condizione necessaria affinche' un campo appartenente a C^1 sia conservativo in un aperto A di R^n, n=2,3; il vettore rotore, campi irrotazionali. L'essere irrotazionale in un aperto A di R^n non e' sufficiente a garantire che un campo sia conservativo: esempio di campo irrotazionale nel suo dominio naturale ma ivi non conservativo. Definizione di insieme semplicemente connesso in R^n, n=2,3. Un sottoinsieme di R^n convesso o stellato rispetto ad un suo punto e' semplicemente connesso. Esempi: R^2 privato di un punto non e' semplicemente connesso, R^3 privato di un punto -- o anche di una palla -- e' semplicemente connesso; R^3 privato di una retta non e' semplicemente connesso. Condizioni sufficienti: TEOREMA: Un campo vettoriale appartenente a C^1 e irrotazionale in un aperto A semplicemente connesso e' conservativo (s.d.). Gio. 21 Dic. 2017 (3 ore) Campi conservativi (cont. e conclusione). Campi localmente conservativi. Un campo vettoriale di classe C^1 in un aperto A di R^n, n=2,3, e ivi irrotazionale e' localmente conservativo. Come si determina un potenziale -- e la famiglia di tutti i potenziali -- di un campo conservativo in un aperto di R^3. Introduzione alle superfici. `Superfici' gia' note: grafici di funzioni reali di due variabili continue (cosiddette superfici cartesiane); insiemi di livello regolari di funzioni (a valori reali) di tre variabili. (Richiami al Teorema delle funzioni implicite e alle ipotesi sufficienti a garantire che tali insiemi di livello siano, localmente, una superficie cartesiana.) La frontiera di una palla non e' una superficie cartesiana. Rappresentazione parametrica di una superficie sferica. Superfici in forma parametrica. Definizione di superficie, equazioni parametriche. Linee caratteristiche. Superfici regolari, vettori/versori normali, equazione del piano tangente a alla superficie in un suo punto. Integrazione su superfici. Un excursus su temi/concetti/formule/ecc. seguenti: -- area di una superficie S (con enfasi sull'inefficacia di una procedura di approssimazione per mezzo di superfici poliedrali `appoggiate' a S), parallelogrammi curvilinei ed elemento di area, formula per l'area di una superficie regolare; area di una superficie cartesiana (per esercizio); -- motivazioni/applicazioni degli integrali di superficie di funzioni (di tre varibili) definite in un aperto contenente S, formula relativa; -- superfici orientabili, il nastro di Moebius; -- integrali di flusso.