Anno Accademico 2003-2004

Università degli Studi di Firenze

Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio

Corso di Analisi Matematica 1

Periodo: 22 settembre 2003 - 24 gennaio 2004.

Docente: prof.ssa Francesca Bucci.

Lezioni svolte

I capitoli, le sezioni o le pagine indicate al termine delle lezioni si riferiscono al testo di riferimento: R.A. ADAMS, Calcolo Differenziale 1 (Terza edizione), Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 2003.

1. Mar. 23/9/03 - 2 ore

Presentazione del corso. Libro di testo e altri testi consigliati. Alcune informazioni pratiche.

Preliminari. Numeri reali e retta reale. Proprietà algebriche, d'ordine e di completezza dei numeri reali. Gli insiemi $\mathbb{N}$ (numeri naturali), $\mathbb{Z}$ (numeri interi relativi) e $\mathbb{Q}$ (numeri razionali). $\mathbb{Q}$ non possiede la proprietà di completezza. PROPOSIZIONE: Non esiste alcun numero razionale $c$ tale che $c^2 =2$ (dimostrata, procedendo `per assurdo'). La radice quadrata di un numero positivo $a$ ($\sqrt{a}$).

Cenni di teoria degli insiemi. Diagrammi di Venn. Insieme vuoto. Unione e intersezione insiemistica. Prodotto cartesiano.

L'alfabeto greco.

[P.1]

2. Gio. 25/9/02 - 2 ore

Intervalli chiusi, aperti, semi-aperti. Semirette. Definizione di insieme limitato in $\mathbb{R}$.

Il valore assoluto di un numero $x$: definizione e proprietà fondamentali. Esempi. La disuguaglianza triangolare (con dim.). Equazioni e disequazioni con valori assoluti. Importante: $\sqrt{a^2}=\vert a\vert$.

Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane nel piano. Distanza tra due punti. La circonferenza.

[P.1, P.2, P.3]

3. Ven. 26/9/03 - 2 ore

Equazioni quadratiche. Il metodo di completamento del quadrato. Circonferenze, ellissi, parabole, iperboli. Rette nel piano e loro pendenza.

Funzioni. Dominio, codominio, immagine. Esempi. Funzioni di variabile reale, a valori reali: $f: A\subseteq\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Grafico di una funzione. Grafici di alcune funzioni elementari ($f(x)=x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $\frac1{x}$, $\frac1{x^2}$). Funzioni pari, dispari e proprietà di simmetria dei relativi grafici. Grafici ottenuti da grafici di funzioni elementari tramite traslazioni e/o riflessioni. Funzioni razionali (rapporto di polinomi).

[P.4, P.5]

4. Mar. 30/9/03 - 2 ore

Grafici di funzioni elementari (continua). Funzioni razionali. Si richiama: l'operazione di divisione tra polinomi. Esempio. Il grafico di $\vert x\vert$ e $\sqrt[3]{x^2}$. La funzione parte intera di $x$ ($f(x)=[x]$) ed il suo grafico. Operazioni tra funzioni. Composizione di funzioni. Esempi.

Elementi di trigonometria: lunghezza d'arco, misura degli angoli in radianti. Seno e coseno. Proprietà fondamentali (ad es., $\cos^2 t + \sin^2 t=1$ $\forall t$; n.b.: $\cos^2 t$ significa $(\cos t)^2$). Periodicità delle funzioni circolari. Funzioni periodiche, periodo minimo; esempi. Coseno e seno di angoli particolari (ad es., $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, etc.). Grafici delle funzioni $\sin x$ e $\cos x$. Formule di addizione. Altre funzioni trigonometriche (in particolare, la tangente).

[P.5, P.6]

5. Gio. 2/10/02 - 2 ore (dott. MATTEO FRANCA)

Introduzione ai limiti. Esempio: l'area di un cerchio come `limite' dell'area di poligoni regolari inscritti. Limiti delle funzioni. Definizione informale, esempi. Definizione formale di limite per $x\to x_0$. Alcune proprietà elementari dei limiti. Utilizzo della definizione formale di limite per verificare che $x^2 +1\to 5$ per $x \to 2$. Regole per il calcolo dei limiti. Teorema dei carabinieri e applicazioni: $x\sin\frac1{x}\to 0$ per $x\to 0$ (esercizio 78, § 1.2).

[1.1, 1.2, 1.5]

6. Ven. 3/10/03 - 2 ore (dott. M. FRANCA)

Breve riepilogo della lezione precedente. Definizione formale di limite all'infinito. Forme `indeterminate'. Limiti all'infinito di funzioni razionali: analisi di $P(x)/Q(x)$ per $x\to +\infty$, al variare dei gradi $m$, $n$ di $P$ e $Q$. Esercizi (alcuni, con rappresentazione grafica).

[1.5, 1.2, 1.3]

7. Mar. 7/10/03 - 2 ore

Elementi minimi di topologia della retta reale. Definizione di intorno. Punti interni ad un insieme $A\subset \mathbb{R}$. Insiemi aperti. Punti esterni ad $A$, punti di frontiera. Esempi. Insiemi chiusi.

Funzioni continue: definizione di continuità di $f:A\to \mathbb{R}$ in un punto $x_0$ interno ad $A$. Continuità a destra e a sinistra. Funzioni continue in un intervallo. Esempi: verifica della continuità di $f(x) = \sqrt{x}$, $x\ge 0$; analisi di $f(x) = 1/x$, $x\ne 0$ (completare la verifica, per esercizio). Esempio di funzione con punti di discontinuità: $f(x)=[x]$. Classi di funzioni continue: polinomi, funzioni razionali, potenze razionali ($x^{p/q}$), funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, secante, etc.), la funzione valore assoluto.

Combinazione di funzioni continue (somma, prodotto, ...). PROPOSIZIONE: La composizione di funzioni continue è una funzione continua (s.d.). Esempi. Estensioni continue.

Proprietà fondamentali delle funzioni continue. IL TEOREMA DI WIERSTRASS: Una funzione continua in un insieme $C$ chiuso e limitato assume in $C$ valori massimo e minimo.

[1.4]

8. Gio. 9/10/02 - 2 ore

Formulazione matematica di problemi di massimo/minimo: esercizio 21, sez. 1.4 (assegnati i n. 22, 23, 24); il rettangolo di area massima inscritto in un'ellisse.

Proprietà delle funzioni continue (prosegue dalla lezione precedente). IL TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI: applicazione alla ricerca delle radici di un'equazione. Esempi. Il metodo di bisezione (cenni). Il Teorema della permanenza del segno (dimostrato.).

[1.4]

9. Ven. 10/10/02 - 2 ore (dott. M. FRANCA)

I limiti notevoli $\frac{\sin x}x \to 1$ per $x\to 0$ e $\frac{1-\cos x}{x^2} \to \frac12$ per $x\to 0$.

Introduzione al concetto di derivata. La retta tangente al grafico di una funzione in un punto $P$ come `limite' di rette secanti. Rapporto incrementale e definizione di derivabilità di una funzione $f$ in un punto $x_0$ interno al dominio. Esempi. Derivate destra e sinistra ($f'_{+}(x_0)$ e $f'_{-}(x_0)$). Rette tangenti e rette normali. TEOREMA: Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f$ è continua in $x_0$ (con dim). Funzioni continue, ma non derivabili: punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi. Derivate di alcune funzioni elementari ($f(x)=ax+b$, $f(x)=x^n$, con $n=1,2,\dots$).

[2.5; 2.1, 2.2]

10. Mar. 14/10/03 - 2 ore

Richiami (dalla lezione precedente): definizione di funzione derivabile in un punto $x_0$ interno al dominio; interpretazione geometrica e retta tangente al grafico di $f$ nel punto $(x_0,f(x_0))$; derivata destra e sinistra. Funzioni derivabili in un intervallo. La funzione derivata (prima) $x\mapsto f'(x)$.

Alcune derivate importanti: derivate di $f(x)=x^n, n=1, 2, \dots$, $f(x)=\frac1x$; analisi di $f(x) = \sqrt{x}$, $f(x)=\vert x\vert$, punti singolari. Regole di derivazione. Derivate di funzioni ottenute tramite somma, moltiplicazione per una costante, prodotto, reciproco, quoziente. Esempi. La derivata di $f(x)=x^{-n}, n=1, 2, \dots$ Le derivate delle funzioni circolari ($\sin x$, $\cos x$). Esercizi n. 30, 44 del § 2.2.

[2.2, 2.3, 2.5]

11. Gio. 16/10/03 - 2 ore

La derivata della funzione $\tan x$. Derivazione di funzioni composte (Teorema): la ``regola della catena'' (chain rule). Esempi. Esercizi n. 14, 16 del § 2.4; n. 50, 52 del § 2.5.

Punti di massimo o minimo assoluto (punti di estremo assoluto) e valori estremi per $f$ in $[a,b]$. TEOREMA: Sia $f:I\to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di estremo assoluto per $f$ interno all'intervallo $I$. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) =0$ (dimostrato). Esempi.

[2.4, 2.5, 2.6]

12. Ven. 17/10/03 - 2 ore (dott. M. FRANCA)

Esercizi n. 46, 56, 58 del par. 2.5. Esercizio (derivazione di funzioni composte): calcolo della derivata prima delle funzioni $sen^2 x$ e $sen(x^2)$.

Utilizzo della derivata per approssimare le piccole variazioni. Variazione percentuale. Rapidità di variazione media e istantanea. Esempi di applicazione del concetto di derivata al calcolo di quantità approssimate (esempi n. 1, 2, 4, § 2.7). Esercizi n. 27, 29, § 2.7. Derivazione implicita: applicazione al calcolo della pendenza del cerchio in un punto fissato.

[2.5, 2.7, 2.9]

13. Mar. 21/10/03 - 2 ore

Punti di massimo o minimo relativo (ed assoluto). TEOREMA DI FERMAT: Sia $f:A\to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di massimo o minimo relativo interno ad $A$. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) =0$ (dimostrato). Localizzazione dei punti di estremo. Esempio: determinazione del rettangolo di area massima inscritto in un'ellisse. Il TEOREMA DI ROLLE, il TEOREMA DEL VALOR MEDIO (O DI LAGRANGE) (dimostrati); interpretazione geometrica. Esercizio n. 3, § 2.6.

Funzioni (monotòne) crescenti o decrescenti: definizione ed esempi.

[2.6]

14. Gio. 23/10/03 - 2 ore

Una conseguenza fondamentale del Teorema del valore medio:

PROPOSIZIONE: Sia $f$ una funzione continua in un intervallo $I$ e derivabile nell'intervallo $J$ costituito dai punti interni ad $I$. Allora (i) $f$ è crescente (decrescente) in $I$ se e solo se $f'(x)\ge 0$ ($f'(x)\le 0$) per ogni $x\in J$; (ii) se $f'(x)> 0$ ($f'(x)< 0$) per ogni $x\in J$, allora $f$ è strettamente crescente (decrescente) in $I$. (Attenzione: il viceversa del punto (ii) è in generale falso. Infatti, una funzione $f$ derivabile in $(a,b)$, strettamente monotòna in $(a,b)$, può avere derivata nulla. Esempio: $f(x) = x^3$).

Studio degli intervalli di monotonia di una funzione $f$ mediante lo studio del segno della derivata prima $f'$, e deduzione di un grafico qualitativo. Esempio: $f(x) = x^3 -12 x +1$.

Alcune applicazioni (con esempi): 1) ricerca delle radici reali di un polinomio, o di zeri di una generica funzione continua; 2) verifica di disuguaglianze; 3) risoluzione di problemi di ottimizzazione.

Notazioni: $f\in C(I)$ e $f\in C^1(I)$.

[2.6, 4.2]

15. Mar. 28/10/03 - 2 ore

Problemi che richiedono la ricerca di valori estremi di una funzione continua in un intervallo $I$. (i) Il caso in cui $I=[a,b]$ (intervallo chiuso e limitato): richiami ai teoremi di Weierstrass (esistenza dei valori estremi e dei punti di estremo) e di Fermat (punti critici e localizzazione dei punti di estremo). (ii) Il caso di funzioni continue su un intervallo non chiuso e/o non limitato. Risoluzione dei seguenti problemi: 1) Provare che tra i triangoli isosceli di perimetro dato quello di area massima è il triangolo equilatero. 2) Trovare le dimensioni di un contenitore di forma cilindrica di capacità fissata che rendono minima la superficie (§ 4.5, Esempio 4).

Un'ulteriore importante conseguenza del Teorema del valore medio: funzioni con derivata nulla in un intervallo (TEOREMA 13, § 2.6). COROLLARIO: Siano $f$ e $g$ due funzioni continue in un intervallo $I$ e derivabili in $\stackrel{\circ}{I}$ (insieme dei punti interni ad $I$), con $f'(x) = g'(x)$ per ogni $x\in \stackrel{\circ}{I}$. Allora esiste una costante $C$ tale che $f(x) = g(x) + C$ per ogni $x\in I$.

Definizione di primitiva di una funzione $h$ in un intervallo $I$ (chiamate `antiderivate' sul testo). Ricerca di primitive: esempi. Descrizione dell'insieme delle primitive di una funzione data. Il simbolo di integrale indefinito.

[4.2, 4.5; 2.6, 2.10]

16. Gio. 30/10/03 - 3 ore

Derivate di ordine superiore. Funzioni con derivate di ogni ordine. Funzioni di classe $C^k(I)$ e di classe $C^{\infty}(I)$. Esempi: la funzione $y(x)=\sin x$ soddisfa $y''(x) + y(x) \equiv 0$ (identicamente) su $\mathbb{R}$. Prime equazioni differenziali ordinarie (EDO): l'equazione dell'oscillatore armonico.

Insiemi convessi nel piano. Esempi. Definizione di funzione convessa in $[a,b]$. (Attenzione: la definizione data è quella più usuale, valida per funzioni di una o più variabili, ed è diversa da quella del libro di testo, che è da noi in seguito ricavata come proprietà delle funzioni convesse derivabili in $[a,b]$). Interpretazione geometrica. Esempi. L'epigrafico $E_f$. Caratterizzazione delle funzioni convesse derivabili in $[a,b]$: TEOREMA: Sia $f$ una funzione derivabile in $[a,b]$. Le proprietà seguenti sono equivalenti: (i) $f$ è convessa in $[a,b]$; (ii) $f'(x)$ è una funzione crescente in $[a,b]$; (iii) per ogni $x, x_0$ in $[a,b]$ si ha $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ (cioè il grafico di $f$ ``sta sopra'' le sue rette tangenti).

Se inoltre esiste $f''(x)$, $x\in [a,b]$, $f$ è convessa in $[a,b]$ se e solo se $f''(x)\ge 0$ in $[a,b]$.

Studio del segno della derivata seconda per la determinazione degli intervalli in cui $f$ è convessa (o concava). Esempi.

Discussione di alcuni esercizi/problemi assegnati la settimana precedente.

[2.8, 2.10; 4.3]

17. Ven. 31/10/03 - 2 ore (dott. M. FRANCA)

Un'importante applicazione delle derivate: variazioni collegate. Esempio 4 (serbatoio conico) ed esercizio 20 del par. 4.1.

Regola generale della derivata di una potenza con esponente razionale (tramite derivazione implicita): $D\,x^r= rx^{r-1}, r\in \mathbb{Q}$. Una tabella di integrali indefiniti. Esercizio sul calcolo di primitive. Problema di Cauchy (problemi ai valori iniziali). Risoluzione di un problema di Cauchy del primo ordine e di uno del secondo.

[4.1, 2.10]

18. Mar. 4/11/03 - 2 ore

(Ci si riallaccia alla lezione del 30/10/03). Concavità e punti di flesso. Esempio: il grafico della funzione $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$. Un'importante applicazione: uso delle derivate seconde (e delle proprietà di concavità di una funzione $f$) al fine di provare la validità di disuguaglianze. Esempio: si dimostra che $\sin x \ge x- \frac{x^3}6$ per ogni $x\ge 0$. Per esercizio: provare che

$$\frac{x^2}2-\frac{x^4}{24}\le 1-\cos x\le \frac{x^2}2\qquad \forall x\,.$$

Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Esempi.

Introduzione alle funzioni inverse. Funzioni iniettive, funzioni suriettive. Esempi. Funzioni biunivoche. Esempi. Funzione inversa. Identità di cancellazione. Costruzione del grafico della funzione inversa.

[4.3, 4.4; 3.1]

20. Gio. 6/11/03 - 2 ore

Funzioni inverse derivabili: formula per il calcolo della derivata della funzione inversa. Applicazione: esercizio 28, § 3.1. Funzioni trigonometriche inverse. Funzione arcoseno ($\arcsin x$), funzione arcotangente ($\arctan x$). Proprietà principali, grafici. Calcolo delle rispettive derivate. Esercizio: si prova l'identità $\arctan x + \arctan \frac1x = \frac{\pi}2$, $x > 0$. Funzione arcocoseno (per esercizio).

[3.1, 3.5]

21. Ven. 7/11/03 - 2 ore

Si amplia la tabella di derivate: le derivate delle funzioni $x^r, r\in \mathbb{Q}$, $\arcsin x$, $\arccos x$, $\arctan x$ (si amplia, di conseguenza, la tabella di primitive).

Grafici di funzioni: studio qualitativo del grafico di una funzione. Un decalogo degli aspetti più importanti:

• Identificare innanzitutto il dominio della funzione, e le eventuali proprietà di simmetria o periodicità della funzione.
• Studiare il comportamento asintotico della funzione vicino ai punti di frontiera del dominio di definizione della funzione, inclusi eventualmente $\pm\infty$, e determinare gli eventuali asintoti.
• Studiare la regolarità della funzione (la funzione è continua, di classe $C^1$, $C^2$, e così via); individuare gli eventuali punti di discontinuità.
• Identificare il segno della derivata prima, e di conseguenza gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce, e gli eventuali punti critici (esplicitamente, ove possibile); successivamente, individuare i punti di massimo e minimo relativi (e se possibile, le zone in cui $f$ è positiva o negativa).
• Può essere rilevante identificare gli intervalli in cui $f$ è convessa o concava.
• Infine, risulta utile analizzare i punti in cui $f$ non è derivabile e stabilire se si tratta di punti angolosi o cuspidali.

Esempio: il grafico di $f(x) = (x^2-1)^{2/3}$.

Esercizio 28, § 4.5: un problema di distanza minima di un punto da una curva (risolto con due diversi metodi, uno più analitico, l'altro più ``geometrico'').

[4.4, 4.5]