Anno Accademico 2002-2003

Università degli Studi di Firenze

Laurea Specialistica in Ingegneria per la tutela dell'Ambiente e del Territorio

Corso di Complementi di Analisi Matematica

Periodo: 23 settembre - 9 novembre 2002.

Docenti: Francesca Bucci, Daniel Canarutto.

Programma sintetico

1. Preliminari. Richiami su numeri complessi, esponenziali complessi, formula di Eulero. Serie di funzioni, convergenza puntuale e uniforme. Serie di potenze reali e complesse.
2. Spazi di funzioni. Misura e integrale di Lebesgue. Spazi di Hilbert. Insiemi ortonormali. Serie trigonometriche e loro convergenza.
3. Equazioni a derivate parziali. Generalità. Equazioni lineari del primo ordine. Il metodo delle caratteristiche. L'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace. Soluzioni mediante sviluppi in serie di Fourier.

Testi di riferimento¹:

- D. Canarutto, Appunti di Analisi Matematica III, Pitagora Editrice Bologna, 1998.

- W.A. Strauss, Partial Differential Equations - An Introduction, John Wiley & Sons, 1992.

Programma dettagliato

PARTE I

Preliminari (richiami). L'insieme dei numeri complessi: definizione, modulo e argomento, forma trigonometrica dei numeri complessi, complesso coniugato, proprietà basilari.

Integrali dipendenti da un parametro, derivazione sotto il segno di integrale.

Richiamo di alcuni risultati basilari della teoria delle equazioni differenziali ordinarie (ODE).

Funzioni di variabile complessa. Funzione esponenziale, formula di Eulero; funzioni circolari. Radici di un numero complesso. Logaritmo di un numero complesso; valore principale del logaritmo e della radice. Derivata e primitiva di funzioni di variabile complessa.

Successioni e serie di funzioni. Nozioni di convergenza puntuale e convergenza uniforme. Serie di potenze reali e complesse, raggio di convergenza. Funzioni analitiche.

Elementi di analisi funzionale. Spazi normati, successioni di Cauchy, spazi completi. Spazi di funzioni, norma del sup e convergenza uniforme. Misura astratta, integrazione astratta, integrale di Lebesgue. Misura e integrazione discreta. Spazi $L^2$, spazi di Hilbert. Proiezione ortogonale, insiemi ortonormali in spazi di Hilbert, spettro, disuguaglianza di Bessel, insiemi ortonormali massimali. Spazio $L^2(T)$, sistema trigonometrico, polinomi trigonometrici. Serie di Fourier, formula dell'energia, Teorema di Dirichlet sulla convergenza puntuale della serie di Fourier. Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme.

PARTE II - Equazioni a Derivate Parziali

INTRODUZIONE ALLE EQUAZIONI A DERIVATE PARZIALI. Cos'è un'equazione a derivate parziali (EDP). Ordine dell'equazione, soluzioni classiche. Equazioni lineari. Esempi.

EDP lineari del primo ordine. Equazioni a coefficienti costanti e a coefficienti variabili. Curve caratteristiche.

Esempi di problemi fisici, relativi modelli ed EDP: la semplice equazione del trasporto, l'equazione della corda vibrante, l'equazione delle onde smorzate, equazioni di diffusione.

Problemi ai valori iniziali e problemi al contorno. Problemi ben posti: esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati.

EQUAZIONE DELLE ONDE ED EQUAZIONE DI DIFFUSIONE IN UNA DIMENSIONE. L'equazione delle onde $u_{tt} - c^2 \,u_{xx}=0$, $-\infty <x< +\infty$. Soluzione generale. Problema ai valori iniziali, soluzione di d'Alembert. Dominio di influenza, dominio di dipendenza, velocità di propagazione. Principio di causalità. Conservazione dell'energia. Metodi dell'energia. Onde smorzate e dissipazione dell'energia.

L'equazione di diffusione $u_t = k\, u_{xx}$, $-\infty <x< +\infty$. Principio del massimo. Unicità, dipendenza continua dai dati. Problema ai valori iniziali. Nucleo di diffusione, soluzione del problema. Confronto tra onde e diffusioni.

PROBLEMI AL CONTORNO. Problemi al contorno per l'equazione delle onde e del calore in un intervallo limitato $[0,L]$. Esame del caso di condizione al bordo di Dirichlet. Metodo di separazione delle variabili. Determinazione di autovalori ed autofunzioni. Soluzioni elementari. Soluzione del problema come somma di una serie. Condizioni sufficienti per la convergenza uniforme. Condizione al bordo di Neumann (per esercizio).

L'equazione del calore e delle onde in dimensione $n= 2,3$ (cenni).

FUNZIONI ARMONICHE. Processi di diffusione stazionari. L'equazione di Laplace, funzioni armoniche. Esempi. Funzioni analitiche di variabile complessa ed equazioni di Cauchy-Riemann. Equazione di Poisson. Principio del massimo (dimostrato il principio di massimo debole). Unicità del problema di Dirichlet. Proprietà di invarianza dell'operatore di Laplace in due e in tre dimensioni. Forma dell'operatore di Laplace in coordinate polari e sferiche.

Esempio 1: un problema al contorno su un rettangolo. Esempio 2: il problema di Dirichlet sul disco. Risoluzione mediante separazione delle variabili, formula di Poisson. Proprietà del valor medio. Regolarità delle funzioni armoniche.

Altri testi consigliati

per la parte I:

- M. Abramowitz - I. A. Segun, Handbook of mathematical functions, Dover.

- J. Bak - D.J. Newman, Complex Analysis, Springer-Verlag.

- E. Giusti, Analisi Matematica 1, Bollati-Boringhieri.

- E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati-Boringhieri.

- G. Gilardi, Analisi III, Mc Graw-Hill Italia.

- A. Kolmogorov e S.V. Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Ed. MIR, 1980.

- S. Lang, Analysis I, Addison-Wesley.

- S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag.

- T. Needham, Visual Complex Analysis, Oxford.

- W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill.

- V. Smirnov, Cours de mathématiques supérieures, Éd. Mir, Moscou.

per la parte II:

- J.M. Cooper, Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB, Birkhäuser Boston, 1998.

- L.C. Evans, Partial Differential Equations, AMS Graduate Studies in Mathematics Vol. 19.

- F. John, Partial Differential Equations, Springer-Verlag New York, 1982.

- R. McOwen, Partial Differential Equations: Methods and Applications, Second Edition, Prentice-Hall.

- H.F. Weinberger, A first course in partial differential equations with complex variables and transform methods, Dover Books on Mathematics.