Anno Accademico 2002-2003

Università degli Studi di Firenze

Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio

Corso di Analisi Matematica I

Periodo: 23 settembre - 9 novembre 2002.

Docente: prof.ssa Francesca Bucci.

Lezioni svolte

I capitoli, le sezioni o le pagine indicate al termine delle lezioni si riferiscono al testo di riferimento: R.A. ADAMS, Calcolo Differenziale 1 (Seconda edizione), Casa Editrice Ambrosiana, Milano, 1999.

1. Mar. 24/9/02 - 2 ore

Presentazione del corso. Libro di testo e altri testi consigliati. Alcune informazioni pratiche.

PRELIMINARI. Numeri reali e retta reale. Proprietà algebriche, d'ordine e di completezza dei numeri reali. Numeri interi e numeri razionali. Intervalli. L'unione e l'intersezione insiemistica.

[P.1]

2. Gio. 26/9/02 - 2 ore

Il valore assoluto: definizione e proprietà. La disuguaglianza triangolare (con dim.). Esempi. Equazioni e disequazioni con valori assoluti. La radice quadrata di un numero positivo. Importante: $\sqrt{x^2}=\vert x\vert$.

Coordinate cartesiane nel piano. Incrementi e distanze. Linee rette. Equazioni delle rette. Equazioni quadratiche. Circonferenze, parabole, ellissi, iperboli. Completamento del quadrato.

Funzioni.

[P.1-2-3-4]

3. Ven. 27/9/02 - 3 ore

Alcune precisazioni/aggiunte sui temi delle lezioni precedenti:

• definizione rigorosa di insieme limitato in $\mathbb{R}$, e in particolare di intervallo limitato (detto intervallo finito sul libro di testo); insiemi non limitati;
• $\sqrt{2}$ non è un numero razionale (dimostrato, procedendo per assurdo);
• l'alfabeto greco.

Funzioni. Dominio, codominio, immagine. Esempi. Grafico di una funzione. Grafici di alcune funzioni elementari ($f(x)=x^2$, $x^3$, $\sqrt{x}$, $\sqrt[3]{x}$, $\vert x\vert$, $\frac1{x}$, $\frac1{x^2}$). Funzioni pari, dispari e proprietà di simmetria dei relativi grafici. La funzione parte intera: $[x]$. Grafici ottenuti da grafici di funzioni elementari tramite traslazioni e/o riflessioni. Funzioni razionali (rapporto di polinomi).

(Richiamo: l'operazione di divisione tra polinomi).

Operazioni tra funzioni. Composizione di funzioni. Esempi.

[P.4-5]

4. Mar. 1/10/02 - 2 ore

Funzioni trigonometriche. Lunghezza d'arco, misura degli angoli in radianti. Seno e coseno. Proprietà fondamentali (ad es., $\cos^2 t + \sin^2 t=1$ $\forall t$; n.b.: $\cos^2 t$ significa $(\cos t)^2$). Periodicità delle funzioni circolari. Funzioni periodiche, periodo minimo; esempi. Coseno e seno di angoli particolari (ad es., $\pi/6$, $\pi/4$, $\pi/3$, etc.). Grafici delle funzioni $\sin x$ e $\cos x$. Formule di addizione. Altre funzioni trigonometriche (in particolare, la tangente).

[P.6]

Introduzione ai LIMITI. Esempio: l'area di un cerchio come ``limite'' dell'area di poligoni regolari inscritti.

[1.1]

5. Gio. 3/10/02 - 2 ore (dott.ssa R. CAVAZZONI)

Limiti delle funzioni. Definizione informale, esempi. Definizione formale di limite. Alcuni limiti elementari. Limiti destro e sinistro. La funzione $sgn(x)$. Regole per il calcolo dei limiti. Esempi. Teorema dei carabinieri. Esercizi.

[1.2, 1.5]

6. Ven. 4/10/02 - 3 ore

Richiami dalla precedente lezione: la definizione di limite (finito), uso della definizione per dimostrare che $x^2\to 4$ per $x\to 2$. Esercizi sui limiti: limiti di quozienti (esercizi 1.2: n. 31, 40); il limite $x\sin\frac1{x}\to 0$ per $x\to 0$ (n. 95); limiti di funzioni definite a tratti (n. 75-78).

Limiti all'infinito: esempi e definizione formale. Limiti all'infinito per funzioni razionali: discussione di $$\lim_{x\to +\infty} P(x)/Q(x)$$ al variare dei gradi $m$, $n$ di $P$ e $Q$, rispettivamente. Definizione di $$\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$$.

[1.5, 1.2, 1.3]

7. Mar. 8/10/02 - 2 ore

Esercizi su limiti all'infinito. (ad esempio, i n. $29$, $33$ della sezione 1.3). Limiti infiniti. La funzione $f(x) = \frac1x$, $x\in (0,1)$. Esempi ed esercizi. Asintoti orizzontali e verticali.

[1.3]

8. Gio. 10/10/02 - 3 ore

Funzioni continue. Punti interni al dominio di una funzione, punti di frontiera. Esempi. Definizione di continuità in un punto. Continuità in un intervallo. Classi di funzioni continue: polinomi, funzioni razionali, potenze razionali ($x^{p/q}$), funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente, secante, etc.), la funzione valore assoluto.

Combinazione di funzioni continue (somma, prodotto, ...). TEOREMA: La composizione di funzioni continue è una funzione continua (s.d.). Discontiuità rimovibili ed estensioni continue. Esempi.

Proprietà delle funzioni continue. IL TEOREMA DI WIERSTRASS: Una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato ammette valori massimo e minimo assoluti. Formulazione matematica di problemi di massimo/minimo: esecizio $21$, sez. 1.4.

[1.4]

9. Ven. 11/10/02 - 2 ore (dott.ssa R. CAVAZZONI)

Proprietà delle funzioni continue (prosegue dalla lezione precedente). Il Teorema dei valori intermedi: applicazione alla ricerca della radici di equazioni. Il metodo di bisezione (cenni). Permanenza del segno.

Esercizi $22$, $26$, $28$, $30$ (sez. 1.4); es. $5$ (sez. 1.5).

[1.4, 1.5]

10. Mar. 15/10/02 - 2 ore

Introduzione al concetto di DERIVATA. La retta tangente al grafico di una funzione $y=f(x)$ in un punto $P$ come ``limite'' di rette secanti. Esempi: le curve di equazione $y=x^2$, $y=\sqrt[3]{x}$, $y=\sqrt[3]{x^2}$, $y=\vert x\vert$. Punti cuspidali e punti angolosi, rette di appoggio. Rette normali. Rapporto incrementale e definizione di derivabilità di una funzione $f$ in un punto $x_0$ interno al dominio. Derivate destra e sinistra ($f'_{+}(x_0)$ e $f'_{-}(x_0)$). La funzione derivata (prima) $x\mapsto f'(x)$.

Derivate di alcune funzioni elementari ($ax+b$, $x^n$, con $n=1,2,\dots$, $\frac1x$, $\sqrt{x}$, ...).

[2.1, 2.2]

11. Gio. 17/10/02 - 3 ore

Esercitazione: risoluzione di alcuni problemi con consegna degli elaborati (temi: limiti, continuità, rette tangenti e derivate).

Regole di derivazione. Derivate di funzioni ottenute tramite somma, moltiplicazione per una costante, prodotto, reciproco, quoziente. Esempi. Derivazione di funzioni composte (Teorema): la ``regola della catena''. Esempi.

[2.2, 2.3, 2.5]

12. Ven. 18/10/02 - 2 ore

Lezione sospesa causa sciopero.

13. Mar. 22/10/02 - 2 ore

Svolgimento dei primi due problemi dell'esercitazione del 17/10/02 e commenti sugli elaborati.

Il limite notevole $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$$ (dimostrato). Derivate delle funzioni $\sin x$ e $\cos x$.

[2.4]

14. Gio. 24/10/02 - 3 ore

Derivate delle funzioni trigonometriche ($\cos x$, $\sin x$, $\tan x$, $\sec x$, $\csc x$). Esercizi di calcolo. Il limite notevole $$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$$ (dimostrato).

Derivate di ordine superiore. Esempio: la funzione $y(t)=\cos (2t)$ verifica $y''(t) + 4 y(t) =0$ per ogni $t$. L'equazione (differenziale) dell'oscillatore armonico (§ 3.1). Funzioni con derivate di ogni ordine.

Un esempio sull'uso della derivazione implicita (§ 2.8, es. 2).

Svolgimento degli ultimi due problemi dell'esercitazione del 17/10/02 e commenti sugli elaborati.

[2.4, 2.7, 2.8, 3.1]

15. Ven. 25/10/02 - 2 ore (dott.ssa R. CAVAZZONI)

Rapidità di variazione media e istantanea: definizioni ed esercizio n. 27, § 2.6.

Regola generale della derivata di una potenza (tramite derivazione implicita).

Variazioni collegate: esempio $3$ p. 172 (pallone sferico).

Valori estremi: massimi e minimi assoluti e relativi (o locali). TEOREMA DI FERMAT: Sia $f:I\to \mathbb{R}$ e sia $x_0$ un punto di massimo o minimo relativo interno all'intervallo $I$. Se $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) =0$. Corollario: localizzazione degli estremi. Esempio: tra i triangoli isosceli di perimetro assegnato deteminare quello di area massima.

[2.6, 2.8; 3.2, 3.3]

16. Mar. 29/10/02 - 2 ore

Valori estremi di una funzione continua su un intervallo $[a,b]$ chiuso e limitato: richiami ai teoremi di Weierstrass (esistenza dei valori estremi e dei punti di estremo) e di Fermat (punti critici e localizzazione dei punti di estremo).

Immagini di funzioni continue in un intervallo. Esempi.

Funzioni continue su un intervallo non chiuso e/o non limitato. Applicazione del Teorema di Weierstrass: esistenza del valore minimo di funzioni continue che tendono a $+\infty$ per $x\to a^+$ e per $x\to b^-$. Esempio: ricerca delle dimensioni di un oggetto di forma cilindrica che rendono minima la superficie, fissato il volume (§ 3.4, Esempio 5).

Il TEOREMA DEL VALOR MEDIO (O DI LAGRANGE); il Teorema di Rolle (dimostrati). Interpretazione geometrica. Esercizio.

[3.3, 3.4, 5.1]

17. Gio. 31/10/02 - 3 ore

Applicazioni del Teorema del valore medio. Funzioni con derivata nulla in un intervallo. Esempi.

Funzioni (monotòne) crescenti e decrescenti. Teorema: Sia $f$ funzione continua in $[a,b]$ e derivabile in $(a,b)$. Allora (i) $f$ è crescente (decrescente) in $[a,b]$ se e solo se $f'(x)\ge 0$ ($f'(x)\le 0$) per ogni $x\in (a,b)$; (ii) se $f'(x)> 0$ ($f'(x)< 0$) per ogni $x\in (a,b)$, allora $f$ è strettamente crescente (decrescente) in $[a,b]$.

Studio degli intervalli di monotonia di una funzione $f$ mediante studio del segno della derivata prima $f'$, e disegno di un grafico qualitativo. Esempio: $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$.

Applicazione: disuguaglianze tra funzioni su un intervallo. Esercizio 55.

[5.1, 5.2]

18. Mar. 5/11/02 - 2 ore

Richiamo del Teorema discusso nella lezione precedente. Osservazione: Il viceversa del punto (ii) è in generale falso. Infatti, una funzione $f$ derivabile in $(a,b)$, strettamente monotòna in $(a,b)$, può avere derivata nulla. Esempio: $f(x) = x^3$.

Ricerca delle radici reali di un polinomio, o di zeri di una generica funzione continua. Esempi ed esercizi.

Insiemi convessi nel piano. Esempi. Definizione di funzione convessa in $[a,b]$. (Attenzione: la definizione data è quella più usuale, valida per funzioni di una o più variabili, ed è diversa da quella del libro di testo, che è da noi in seguito ricavata come proprietà delle funzioni convesse derivabili in $[a,b]$). Interpretazione geometrica. Esempi. L'epigrafico $E_f$. Caratterizzazione delle funzioni convesse derivabili in $[a,b]$: PROPOSIZIONE: Le proprietà seguenti sono equivalenti: (i) $f$ è convessa in $[a,b]$; (ii) $f'(x)$ è una funzione crescente in $[a,b]$; (iii) per ogni $x, x_0$ in $[a,b]$ si ha $f(x) \ge f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ (cioé il grafico di $f$ ``sta sopra'' le sue rette tangenti).

Funzioni $f$ con derivata seconda $f''(x)$, $x\in [a,b]$. Studio del segno della derivata seonda per la determinazione degli intervalli in cui $f$ è convessa (o concava). Esempi. Punti di flesso.

[5.3]

19. Mar. 5/11/02 - 2 ore (recupero) (dott.ssa R. CAVAZZONI)

Studio dei grafici di funzioni. Applicazioni (ad esempio: validità di disuguaglianze). Esercizi.

[5.2, 5.3, 5.4]

20. Gio. 7/11/02 - 3 ore

Funzioni iniettive, funzioni suriettive. Esempi. Funzioni biunivoche. Esempi. Funzione inversa. Identità di cancellazione. Grafici di funzioni inverse. Funzioni inverse derivabili: formula per il calcolo della derivata della funzione inversa.

Funzioni trigonometriche inverse. Funzione arcoseno ($\arcsin x$), funzione arcotangente ($\arctan x$). Proprietà principali, grafici. Calcolo delle derivate. Esercizio: provare l'identità $\arctan x + \arctan \frac1x = \frac{\pi}2$, $x > 0$. Funzione arcocoseno (per esercizio).

[4.1, 4.5]

21. Ven. 8/11/02 - 2 ore (dott.ssa R. CAVAZZONI)

Funzioni trascendenti: le funzioni logaritmo ed esponenziale. Introduzione al logaritmo naturale per via geometrica: il grafico della funzione $\frac1x$, $x > 0$, e definizione della funzione $\ln x$ tramite l'area di una opportuna regione piana (§ 4.3). PROPOSIZIONE: La funzione $\ln x$ è derivabile, e $\frac{\rm d}{{\rm d}x}\ln x = \frac1x$, $x > 0$.

La funzione $\exp x$ come funzione inversa di $\ln x$. Il numero $e$. Esercizio 28 (§ 4.3). Crescita e decadimento delle funzioni esponenziale esponenziale e logaritmo. Comportamento asintotico e confronto tra logaritmi, potenze, esponenziali. Esercizio 69 (§ 4.3). Esponenziali e logaritmi generali (con base $a>0$). Esercizio 13 (§ 4.3).

[4.2, 4.3, 4.4]