Attività di ricerca di Pierluigi Benevieri

La mia attività di ricerca riguarda principalmente i seguenti temi:

$\bullet$ Teoria del grado topologico e applicazioni.

$\bullet$ Topologia differenziale applicata alla teoria dell'equilibrio economico.

Teoria del grado topologico

La ricerca ha avuto inizio nel corso del dottorato di ricerca da me svolto ed è proseguita negli anni successivi in collaborazione principalmente con il Prof. Massimo Furi, la Prof.sa Maria Patrizia Pera e il Dott. Marco Spadini. Il principale risultato ottenuto è la costruzione di un grado topologico a valori interi per applicazioni non lineari di Fredholm di indice zero tra varietà differenziabili modellate su spazi di Banach.

L'idea che sta alla base di tale costruzione è l'introduzione di un concetto, puramente algebrico, di orientazione per operatori lineari di Fredholm tra spazi vettoriali reali. Questa orientazione può essere pensata, nel caso che gli spazi in questione siano di dimensione infinita, come un'estensione dei concetti di orientazione di uno spazio vettoriale finito-dimensionale o di determinante di un operatore lineare. Si fa vedere che in base alla definizione data un operatore ha esattamente due orientazioni.

Successivamente si introduce la topologia; precisamente si considera un operatore di Fredholm di indice zero L da E in F dove E e F sono spazi di Banach, e si dimostra che un'orientazione su L induce, per una sorta di continuità (accuratamente definita), un'orientazione su un qualsiasi operatore L' appartenente a un opportuno intorno di L(nella topologia degli operatori). Da qui si considera un'applicazione di Fredholm di indice zero f da D in F con D aperto in E. Diremo che f è orientabile se è possibile assegnare in modo continuo un'orientazione a(x) alla derivata di Fréchet di f in x, per ogni x in D . La f è detta orientata quando a(x) è assegnata in modo continuo per ogni x . Tale scelta è detta orientazione di f .

Questa nozione di orientazione è quindi estesa ad applicazioni di Fredholm di indice zero tra varietà modellate su spazi di Banach.

Questo concetto di orientazione e grado ha punti di contatto con analoghe recenti teorie. Tra i risultati più significativi nella direzione di estendere il grado di Leray-Schauder al campo delle applicazioni non lineari di Fredholm sono da citare i lavori di Elworthy-Tromba e quelli di Fitzpatrick-Pejsachowicz-Rabier. La ricerca portata avanti in questo settore ha anche riguardato il confronto tra il nostro lavoro e i risultati degli autori sopra ricordati.

Applicando le suddette nozioni di orientazione e grado si sono ottenuti in seguito risultati di biforcazione locale e globale per una classe di applicazioni di Fredholm di indice zero. Tali risultati sono stati raggiunti grazie all'approccio classico delle ricerca del salto di grado. A tal fine si è introdotto il concetto di sign jump di una famiglia di operatori lineari di Fredholm di indice zero, dipendente con continuità da un parametro reale.

In collaborazione con i già citati Furi e Pera, viene presentata una versione del classico Teorema di Invarianza del Dominio per applicazioni non lineari di Fredholm di indice zero tra spazi di Banach (e piè in generale tra varietà di Banach). La dimostrazione si basa su una tecnica di riduzione a dimensione finita (introdotta per la prima volta, a quanto ci risulta, da Caccioppoli) e sull'uso del grado mod 2 in dimensione finita.
Sempre in collaborazione con Furi e Pera, è dimostrata la proprietà di moltiplicatività per il grado orientato. Come conseguenza è dedotta una versione del Teorema di Separazione di Jordan.
Più recentemente, con i colleghi Furi, Pera e Spadini si è studiato il problema del sopra citato sign jump di una famiglia di operatori lineari di Fredholm, che, come detto in precedenza, fornisce informazioni sull'esistenza di punti di biforcazione.

Un modo pratico per orientare un operatore di Fredholm di indice zero L è quello di trasportare l'orientazione di un isomorfismo con orientazione naturale S lungo un segmento congiungente S e L. Se L è invertibile, si ha sign L=(-1)ⁿ dove n è il numero dei sign jump lungo il segmento. Questa formula ricorda l'analoga della teoria di Leray e Schauder, dove l'indice di un insomorfismo della forma perturbazione (lineare) compatta dell'identità è (-1)ⁿ dove n è il numero dei valori caratteristici in (0,1), di molteplicitè dispari, della parte perturbante. In un lavoro con i colleghi sopra citati si danno risultati per la determinazione del sign jump di particolari famiglie a un parametro di operatori.

Recentemente, il Prof. Furi e il sottoscritto abbiamo definito un concetto di grado per perturbazioni localmente compatte di mappe di Fredholm orientabili tra spazi di Banach.


Metodi topologici per lo studio di equazioni differenziali con ritardo

Si tratta di un tema di ricerca sviluppato nel 1999 (e recentemente ripreso) in occasione di un soggiorno di tre mesi presso la Rutgers University, New Jersey, USA, sotto la supervisione del Prof. Roger Nussbaum.
L'obiettivo era quello di studiare alcuni problemi aperti relativi ad equazioni cosiddette `state dependent time lag'.
In particolare sono interessanti problemi di biforcazione delle soluzioni per un'equazione della forma

x'(t)=-a f(x(t-r₁(x(t))),x(t-r₂(x(t)))),

dove r₁ e r₂ sono due funzioni a valori reali, non negative, con l'ulteriore condizione r₁(0) e r₂(0) sono diverse.

È interessante un'equazione del tipo:

ax'(t)=-x(t)-k₁x(t-r₁(x(t)))-k₂x(t-r₂(x(t))),
con le condizioni
k₁>0, k₂>0, k₁+k₂>1,
r_i=1+c_ix(t), c_i>0, i=1,2.

Lo studio dei problemi funzionali che formalizzano le equaioni con ritardo è collegato alla teoria dei semiflussi. Un filone di ricerca interessante porta all'analisi risultati di Fuller e Fenske sullo studio dei semiflussi allo scopo di ottenere informazioni sui problemi di equazioni con ritardo.

Recentemente, in collaborazione con M. Furi e lo studente di dottorato di ricerca Alessanro Calamai, è in corso uno studio che ha portato alla definizione di un concetto di grado topologico per una particolare classe di perturbazioni di mappe di Fredholm tra spazi di Banach e che generalizza sia il grado definito da Furi e dal sottoscrito per perturbazioni localmente compatte di mappe di Fredholm, sia il grado di Nussbaum per mappe alfa-contrattive. Ci aspettiamo che questo grado possa dare risultati interessanti applicabili allo studio delle equazioni con ritardo. br>

Metodi topologici per lo studio del problema non lineare di Riemann-Hilbert

Si tratta di un filone di ricerca avviato recentemente con il Prof. Messoud Efendiev, dell'Università di Stuttgart, e con Massimo Furi, legato allo studio del problema non lineare di Riemann-Hilbert.

Topologia differenziale applicata alla teoria dell'equilibrio economico

Questo tema è trattato in collaborazione con il Prof. Andrea Battinelli dell'Università di Siena, la Dott.sa Laura Carosi del Dipartimento per le decisioni economiche e finanziarie dell'Università di Pisa e il Prof. Antonio Villanacci del Dipartimento per le decisioni economiche e finanziarie dell'Università di Firenze. La collaborazione verte su un programma di ricerca per lo studio di problemi legati alla teoria dell'equilibrio economico e dei mercati incompleti, affrontati con l'ausilio di strumenti di analisi funzionale e in particolare con la teoria del grado topologico.
Il lavoro ha portato alla pubblicazione di un libro:
A. Villanacci, A. Battinelli, P. Benevieri, L. Carosi, Differential Topology and General Equilibrium with Complete and Incomplete Markets, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.