AA 2025-2026 Corso di Laurea in Matematica Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II (12 CFU) Docenti: Francesca Bucci, Luigi De Pascale (acronimi rispettivi: FB, LDP) NOTE: 1. Questo diario e' un file .txt scritto con una tastiera USA: per questo gli accenti tonici sono sostituiti da apostrofi. Da non prendere come esempio. 2. s.d. significa "senza dimostrazione; dim. indica che il risultato e' stato dimostrato. DIARIO delle LEZIONI (dal 9 gen. 2026) 1^ Settimana (del 2026) lun. 9 feb. 2026 (FB, 2 ore) Prosieguo dell'insegnamento Analisi Mat. II: il piano dei temi imminenti e futuri. Una road map per lo sviluppo del tema "Integrali multipli": contesto, misura di Peano-Jordan (con una caratterizzazione degli insiemi misurabili; si anticipa che il grafico di una funzione continua in [a,b] e' trascurabile; insiemi semplici rispetto a un asse, insiemi semplicemente decomponibili). Funzioni integrabili secondo Riemann in E limitato misurabile (definizione, caratterizzazione), classi di funzioni integrabili (funzioni quasi ovunque continue), proprieta' dell'integrale. Il calcolo degli integrali (Teorema di Fubini e formule di riduzione, cambiamento di variabili negli integrali multipli). Applicazioni fisico-meccaniche. Integrali in senso improprio o generalizzato. (COMPITO: recuperare la teoria delle quadriche, e metodi del calcolo integrale per funzioni di una variabile.) gio. 12 feb. 2026 (FB, 1 ora) MISURA di Peano-Jordan. Intervalli superiormente semiaperti in R^n, plurintervalli superiormente semiaperti, loro misura. Somme inferiore e superiore di E (sottoinsieme di R^n limitato), def. di E e' misurabile. Caratterizzazione degli insiemi misurabili (che segue dalla definizione). Insieme delle parti di R^n limitate e misurabili. ven. 13 feb. 2026 (FB, 2 ore) MISURA di Peano-Jordan (contin.). Caratterizzazione degli insiemi misurabili e di misura nulla (trascurabili). Esempi di insiemi non misurabili (in R e in R^2). COMPITO: v. le Proposizioni 1, 2, 3, pp. 313-314 del testo (subadditivita' e monotonia della misura). TEOREMA (caratterizzazione degli insiemi misurabili). PROPOSIZIONE/ESERCIZIO (dim.): Il grafico G_f di una funzione f: [a,b] ---> R continua e' trascurabile. Conseguenza: gli insiemi semplici rispetto a un asse in R^2 sono misurabili. 2^ Settimana lun. 16 feb. 2026 (FB, 2 ore) INTEGRALE secondo RIEMANN in R^n. Contesto, partizione P di E (limitato) misurabile, somme inferiore e superiore (di Riemann) relative a P; partizione P_{12} generata da due partizioni $P_1$ e P_2 di E, relazione d'ordine per le somme di Riemann. Definizione di funzione integrabile in E. Una funzione pari a una costante c in E e' integrabile, e l'integrale vale c m(E); ne consegue che la misura di un insieme misurabile e' pari all'integrale della funzione f(x)=1 in E. PROPRIETA' dell'integrale (s.d.): linearita', additivita' rispetto all'insieme di integrazione, positivita' e monotonia, proprieta' di media. Il Teorema della media integrale. Esempio di funzione non integrabile. CLASSI di funzioni integrabili (s.d.): i) funzioni continue in K compatto, ii) funzioni limitate in E e continue salvo che nei punti di un insieme trascurabile (in R^n). Il CALCOLO degli integrali: TEOREMA (di Fubini) di RIDUZIONE degli integrali multipli (s.d.). Testo di due ESERCIZI. gio. 19 feb. 2026 (FB, 1 ora) Discussione degli esercizi di cui alla lezione precedente. Insiemi semplici rispetto a un asse in R^2 e in R^3, formule di riduzione relative. ven. 20 feb. 2026 (FB, 2 ore) INTRODUZIONE ai CAMBI di VARIABILI negli INTEGRALI MULTIPLI: area di un parallelogramma curvilineo, l'utilizzo di nuove variabili scaturisce in modo naturale, ai fini dell'integrazione su un dominio dalla geometria piu' semplice. DIFFEOMORFISMI da un sottoinsieme di R^d a un sottoinsieme di R^n: definizione, implicazioni; insiemi diffeomorfi. Diffeomorfismi definiti in un insieme aperto: definizione equivalente. Il caso d=n: relazioni tra le matrici jacobiane del diffeomorfismo e dell'inversa e tra i rispettivi determinanti. L'applicazione esponenziale non e' iniettiva in R^2. TEOREMA e formula di cambiamento di variabili negli integrali multipli (enunciato); l'integrale di f(x,y)=1 in E, cioe' la misura di E. Coordinate polari: la trasformazione non e' iniettiva se considerata in [0,infty)x[0,pi], la si considera nell'insieme aperto (0,infty)x(0,pi); nulla osta all'utilizzo della formula (l'integrale di f su un insieme trascurabile e' nullo). COMPITI: 1. lettura della dim. del Teorema nel paragrafo 75, p. 288 del testo di riferimento; 2. lettura della Nota in Moodle (fattori di scala con cui vengono trasfromate le aree); 3. esercizio 2. 3^ Settimana lun. 23 feb. 2026 (FB, 2 ore) APPLICAZIONI dei CAMBI di VARIABILI in R^d, d=2,3. Discussione dell'ESERCIZIO 2. (v. lez. del 16 feb.): integrale triplo esteso a Omega dominio normale rispetto al piano xz: come determinare la proiezione D di Omega sul piano xz, integrali iterati, cambio di variabili dettato dalla geometria di D (insieme racchiuso da un'ellisse). ESERCIZIO: calcolo dell'area della regione E delimitata da un ramo della lemniscata di Bernoulli Gamma: si mostra come dedurre -- dall'equazione cartesiana di Gamma -- la legge polare rho=rho(theta), theta in I. La formula nel caso generale. ESERCIZIO: il volume di un cono (non circolare, ne' retto) e' pari a 1/3 del prodotto dell'area della base per l'altezza. APPROFONDIMENTI sulle curve (e poi sulle superfici): il sito mathcurve (ad opera di Robert FERREOL). mer. 26 feb. 2026 (FB, 1 ora) Dimostrazione (con linea di argomentazione di tipo euristico) della formula di cambiamento di variabili nefgli integrali doppi; v. [G-2003, pp. 49-52]. [G-2003] E. Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringheri, 3^ ed., 2003. ven. 27 feb. 2026 (FB, 2 ore) CAMBIAMENTO di VARIABILI negli INTEGRALI DOPPI (contin.): conclusione della dim. del Teorema di cui alla lezione precedente. Area di una regione delimitata da una curva di Jordan costituita da un arco di curva di equazione polare rho=rho(theta), theta in [theta_1,theta_2], e dai raggi definiti da theta=theta_1 e theta=theta_2. Integrali doppi di funzioni con proprieta' di simmetria estesi a domini simmetrici rispetto a un asse. Coordinate sferiche: i parametri colatitudine e longitudine, l'immagine dell'insieme aperto in cui si considera la trasformazione, lo jacobiano. Coordinate cilindriche. COMPITO: si affrontino i quesiti del foglio 1 (v. Moodle). 4^ Settimana lun. 2 mar. 2026 (FB, 2 ore) FORMULE di GREEN nel PIANO, con dim. nel caso di domini semplici rispetto a uno dei due assi. Le formule sono vere nel caso di domini regolari (o semplicemente decomponibili). Applicazione al calcolo della aree di domini limitati da una curva di Jordan (regolare a tratti): tre formule. ESERCIZIO: calcolo dell'area del settore iperbolico. COMPITO: ritrovare per altra via la formula per l'area di una regione limitata da una curva di Jordan costituita da un arco di curva di equazione polare rho=rho(theta), theta in [theta_1,theta_2], e dai raggi definiti da theta=theta_1 e theta=theta_2. gio. 5 mar. 2026 (FB, 1 ora) TEOREMA di GAUSS-GREEN. La formula e' vera in insiemi regolari (o semplicemente decomponibili). Conseguenze di rilievo: Teorema della divergenza (in 2-D, dim.). ven. 6 mar. 2026 (LDP, 2 ore) ... 5^ Settimana lun. 9 mar. 2026 (LDP, 2 ore) ... gio. 12 mar. 2026 (FB, 1 ora) APPLICAZIONI del TEOREMA di GAUSS-GREEN (contin.). Condizioni sufficienti affinche' una 1-forma differenziale di classe C^1 e chiusa in A sia ivi esatta. Richiami: insiemi stellati, il Lemma di Poincare'. Insiemi semplicemente connessi in R^n: definizione formale, esempi illustrativi in R^d, d=2,3. TEOREMA (caratterizzazione, dim.) inerente a 1-forme appartenenti a C^1(A), con A insieme semplicemente connesso: omega e' esatta in A se e solo se e' ivi chiusa. (Si sottolinea che il risultato puo' essere utilizzato nelle componenti connesse di A, anche nel caso A sia sconnesso; naturalmente, se omega risulta esatta in A, la famiglia delle sue primitive dipende da tanti parametri quante sono le componenti suddette.) ven. 13 mar. 2026 (FB, 2 ore) INTEGRALI MULTIPLI in SENSO GENERALIZZATO. Possibili estensioni dell'integrale di Riemann. Insiemi non limitati misurabili: definizione, esempi illustrativi. Funzioni non negative integrabili in senso generalizzato (o sommabili) in E non limitato misurabile: definizione, caratterizzazione (da rivedere: Teorema a p. 328 del testo di riferimento con errore). Calcolo dell'integrale della funzione di Gauss f(x,y)=exp(-x^2-y^2) in R^2; si deduce il valore dell'integrale su R di e^{-x^2} e quello di exp(-||x||^2) in R^n. COMPITO: il caso di funzioni non negative e non limitate ad es. in un "intorno bucato" di un punto x_0, sommabilita' della funzione f(x)=||x-x_0||^{-alfa} per alfa R^3 continua, e S=r(D) (D sottoinsieme di R^2 opportuno), equazioni parametriche; la definizione comprende le superfici-grafico di cui al punto (i). Superfici regolari: definizione, la condizione di regolarita' nel caso di superfici cartesiane. Una superficie regolare e' localmente una superficie cartesiana (dim., per mezzo del Teorema dell'inversa locale). 7^ Settimana lun. 23 mar. 2026 (FB, 2 ore) SUPERFICI in FORMA PARAMETRICA (contin.). Sia S una superficie di rappresentazione parametrica r: D ---> R^3. Linee coordinate, interpretazione geometrica della condizione di regolarita', piano tangente (e un vettore normale) a S in un suo punto. Il grafico di una funzione f=f(x,y) appartenente a C^1(D) e' una superficie regolare; l'equazione del piano suddetto coincide con quella nota (dal calcolo differenziale). Come definire l'AREA di una superficie. Introduzione: si sottolinea che un'argomentazione analoga -- mutatis mutandis -- a quella utilizzata per la definizione di curva rettificabile (per mezzo di poligonali inscritte nel sostegno) risulta inefficace, che' la procedura di costruzione di superfici poliedrali con vertici su S puo' risultare non convergente (anche nel caso di superfici elementari quali una superficie cilindrica; v. l'esempio di Schwarz). gio. 26 mar. 2026 (FB, 1 ora) AREA di una SUPERFICIE (contin.). Come definire l'AREA di una superficie: si descrive una procedura di approssimazione della lunghezza di un arco di curva cartesiana di eq. y=f(x), x in [a,b], con f appartenente a C^1([a,b]), tramite la lunghezza di `poligonali circoscritte' costruite con porzioni di rette tangenti al grafico di f (in suoi punti). Nel caso di superfici-grafico di classe C^1(D), una costruzione analoga che fa uso di porzioni di piani tangenti a S risulta convergente e giustifica la formula per l'area. La formula nel caso di superfici parametriche regolari; l'estensione al caso di superfici regolari a pezzi (def. formale rimandata). ven. 27 mar. 2026 (FB, 2 ore) SUPERFICI REGOLARI (contin.). Cambi di parametro ammissibili (o regolari), invarianza dell'area di una calotta regolare. Superfici di rotazione: rappresentazione parametrica, regolarita' ereditata, computo dell'area; il Teorema di Guldino. Esempi illustrativi. 8^ Settimana lun. 30 mar. 2026 (FB, 2 ore) INTEGRALI di SUPERFICIE: formula, motivazione e applicazione fisico meccanica. (Digressione: alcune identita' inerenti al prodotto vettoriale; v. Prop. 4, sez. 65 del testo di riferimento.) Il calcolo di ||r_u x r_v||, prima forma fondamentale di una superficie regolare. Superfici orientabili: definizione, classi di rilievo (le calotte grafico di funzioni a valori reali di classe C^1, le superfici di rotazione). ESEMPIO paradigmatico di superficie non orientabile: il nastro di Moebius (costruzione della superficie, rappresentazione parametrica; verifica della mancata proprieta' come COMPITO). Integrali di flusso. Il Teorema della divergenza (s.d.). 2-8 apr. 2026: vacanze di Pasqua 9^ Settimana gio. 9 apr. 2026 (FB, 1 ora) SUPERFICI regolari con BORDO. Orientazione positiva del bordo di S rispetto all'orientazione di S. Il TEOREMA di STOKES (s.d.). Applicazioni di rilievo: dimostrazione dell'equivalenza delle proprieta' di essere conservativo ed essere irrotazionale per campi vettoriali di classe C^1 in sottoinsiemi semplicemente connessi di R^3. ven. 10 apr. 2026 (FB, 2 ore) Discussione di due PROBLEMI inerenti a integrali di flusso, con applicazione dei teoremi della divergenza e di Stokes. 8^ Settimana lun. 13 apr. 2026 (FB, 2 ore) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE. COMPITO: recuperare la parte introduttiva (cos'e' un'equazione differenziale, cosa un'equazione differenziale ordinaria (EDO), cosa un'equazione differenziale a derivate parziali; ordine dell'equazione, equazioni lineari, equazioni nonlineari. Definizione di soluzione di un'EDO). Sistemi del primo ordine, il problema di Cauchy: definizione di soluzione di un problema di Cauchy. Le questioni chiave: esistenza di almeno una soluzione (locale), unicita' delle soluzioni, dipendenza continua dai dati; esistenza globale. Si ricorda che esempi elementari mostrano che se f(t,y) non e' continua in un intorno di (t_0,y_0), puo' non esservi esistenza di alcuna soluzione di problemi di Cauchy associati all'equazione y'=f(t,y). Il Teorema di Peano (s.d.). Nell'ipotesi di continuita' di f, ogni soluzione dell'equazione y'=f(t,y) in un intervallo J appartiene alla classe C^1(J). Esempio di non unicita'. LEMMA (dim.) che riconduce la risoluzione del problema di Cauchy alla ricerca di un'unica soluzione continua di un'opportuna equazione integrale. Lo strumento fornito dai Teoremi di punto fisso. gio. 16 apr. 2026 (FB, 1 ora) SPAZI METRICI. Si richiama (dal corso di Analisi Matematica I precedente) la definizione di spazio metrico; proprieta' della metrica. Esempi di rilievo: R^n dotato della metrica euclidea; C([a,b]) e C_b(I) con la metrica lagrangiana. Intorni sferici (o palle) in spazi metrici. Successioni a valori in uno spazio metrico, il concetto di convergenza per successioni in spazi metrici. Convergenza puntuale, convergenza uniforme di successioni continue e limitate in un intervallo I. Conseguenze di rilievo della convergenza uniforme (v. documento "Successioni e serie di funzioni, in compendio" in Moodle). Spazi metrici completi. C_b(I) con la metrica lagrangiana e' completo. Si richiama il Teorema delle contrazioni (o di Banach-Caccioppoli), quale strumento chiave per una dim. del Teorema di Cauchy-Lipschitz (enunciato). ven. 17 apr. 2026 (FB, 2 ore) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (contin.). TEOREMA di Cauchy-Lipschitz (dim). Un ESERCIZIO. 9^ Settimana lun. 20 apr. 2026 (FB, 2 ore) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (contin.). Conclusione della discussione dell'esercizio di cui alla lezione precedente. Equazioni differenziali ordinarie esatte. Equazioni differenziali riconducibili a equazioni esatte, fattori integranti. gio. 23 apr. 2026 (FB, 1 ora) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (contin.). Esistenza locale (o "in piccolo") di un'unica soluzione del problema di Cauchy. Verso un risultato di esistenza globale (o "in grande"). Si richiama un esempio paradigmatico del fenomeno del blow-up (scoppiamento in tempo finito). Prolungamenti. ven. 24 apr. 2026 (FB, 2 ore) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO, contin.). Prolungamenti, intervallo massimale. Crescita sottolineare di f(t,y) (rispetto a y) ed esistenza globale delle soluzioni del problema di Cauchy y'=f(t,y), y(t_0)=y_0 (TEOREMA, dim.). Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari. Esistenza globale e unicita'. Il caso omogeneo. Principio di sovrapposizione. Lo spazio delle soluzioni del sistema completo e' uno spazio affine. EDO (scalari) di ordine n lineari, loro riformulazione come sistemi differenziali lineari del primo ordine. Lo spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea e' isomorfo a R^n, e per questo ha dimensione n. 10^ Settimana lun. 27 apr. 2026 (FB, 2 ore) EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO, contin. e conclusione). EDO lineari omogenee di ordine n, con coefficenti continui in un intervallo I. Sistema fondamentale di soluzioni. Matrice wronskiana, wronskiano. PROPOSIZIONE: il wronskiano e' non nullo in I se e solo se lo e' in t_0 appartenente a I (dim. nel caso n=2). Soluzioni linearmente indipendenti di un'EDO lineare omogenea di ordine n: definizione, caratterizzazione per mezzo del wronskiano (dim. nel caso n=2). TEOREMA: Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'EDO lineare omogenea di ordine n ha dimensione n (dimostrato il fatto che la dimensione e' almeno n; completamento della dim. come COMPITO (v. testo/testi). Una classe di rilievo di EDO lineari a coefficienti non costanti: le equazioni di Eulero. COMPITO: Il metodo di abbassamento dell'ordine.