AA 2025-2026
Corso di Laurea in Ingegneria Ambientale (IAL)
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Edile per la Sostenibilita' (ICE) 
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II (9 CFU; 6 CFU per i curricula "Gestione e Sicurezza dei
Processi costruttivi", "Edifici e sistemi edilizi")
Docente: Francesca Bucci

			      DIARIO delle LEZIONI

PRECISAZIONI: 1. Per via del file .txt e della tastiera che utilizzo, gli accenti tonici della
lingua italiana sono assenti, qui sostituiti da apostrofi; si tratta di una scelta circostanziale,
da non imitare. 2. L'abbreviazione "dim." indica che un risultato e' stato dimostrato; "s.d."
significa senza dimostrazione, ovvero che la dimostrazione e' stata omessa. 

1^ Settimana

Lezione n. 1 -- lun. 15 sett. 2025 (2 ore)

La docente si presenta. Informazioni nel sito di Unifi (v. la cosiddetta Scheda personale), il sito
`personale' http://www.dma.unifi.it/~fbucci/
Presentazione dell'insegnamento "Analisi Matematica II": rassegna delle principali informazioni
contenute nel sillabo (v. la voce "Insegnamenti" nella scheda personale), tra cui -- oltre ai
contenuti -- il testo suggerito, i prerequisiti, le modalita' di verifica dell'apprendimento. La
piattaforma Moodle, il ricevimento collettivo. 

Le funzioni/applicazioni/trasformazioni da un sottoinsieme di R^n, a valori in R^m sono pervasive nel
mondo reale. Illustrazione di alcuni casi di rilievo: 1. n>1, m=1, l'assenza di ordinamento dei
numeri in R^n se n>1, la non validita' di alcuni risultati fondanti del calcolo differenziale
per funzioni di una variabile. Un problema di ottimizzazione vincolata derivato dall'obiettivo di
contenere i costi nella costruzione di un bacino con interventi sul fondo; 2. n=2, m=3: i parametri
colatitudine e longitudine per la rappresentazione dei punti della superficie terrestre; l'aereoporto
di Alicante: copertura con ripetizione di volte boeme. Superfici in forma parametrica. 3. (cenni)
Il calcolo integrale di funzioni a valori reali su domini di R^2 e R^3, necessita' di un concetto di
insieme misurabile. Integrazione su curve e superfici, integrali di flusso. 4. Modelli differenziali:
equazioni differenziali ordinarie, significato degli aggettivi, l'equazione dell'oscillatore
armonico. Equazioni differenziali a derivate parziali (equazione del trasporto).

RICHIAMARE: a) Spazi vettoriali, geometria analitica, quadriche (v. insegnamento Geometria). b) Il
Teorema fondamentale del calcolo integrale (dettagliati e discussi i due assunti); c) risultati
principali attinenti alle funzioni continue, il Teorema di Lagrange. Validita' e non validita' di
alcuni risultati noti per funzioni (a valori reali) di una variabile: il ruolo dell'ordinamento dei
numeri reali (che viene a mancare nel caso di R^n, n>1). d) La ricerca di primitive, metodi di
integrazione; esempio (integrazione per parti): l'integrale generale della funzione log(x)).
e) Equazioni differenziali ordinarie (EDO): il modello di EDO del I ordine lineare a coefficienti
continui y'=a(t)y+b(t), t appartenente a un intervallo I, formula chiusa che fornisce tutte le
soluzioni (l'integrale generale); EDO (non lineari) a variabili separabili. EDO del II ordine
lineari omogenee a coefficienti costanti.

Lezione n. 2 -- mer. 17 sett. 2025 (3 ore)

In vista del concetto di CURVA (in forma parametrica), si osserva che la definizione necessita del
concetto di applicazione continua definita in un intervallo I di R, a valori in R^n. La curva come
coppia sostegno-parametrizzazione; l'ordinamento dei numeri reali induce un senso di percorrenza
del sostegno.
DIGRESSIONE: Strutture lineare e metrica di R^n. i) Lo spazio R^n: punti o vettori, i versori della
base canonica, componenti. R^n e' uno spazio vettoriale su R. (RICHIAMARE la definizione di spazio
vettoriale V su un campo K.) Prodotto scalare in R^n: definizione, proprieta'. Norma indotta dal
prodotto scalare: definizione, proprieta'; la disuguaglianza triangolare si dimostra utilizzando la
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dim.). Stime (dall'alto e dal basso) per la norma della
differenza. ii) La norma consente di introdurre una distanza (o metrica euclidea) in R^n:
definizione, proprieta'. La struttura metrica e' possibile in insiemi qualsiasi, che non siano spazi
vettoriali. ESEMPIO illustrativo: dato l'insieme X del gruppo-classe, l'applicazione che associa a
una coppia di studenti il valore 1 se sono distinti, 0 altrimenti, e' una metrica cioe' soddisfa le
tre proprieta' identificative (positivita', simmetria, disuguaglianza triangolare). ESERCIZIO:
calcolare la distanza tra le due funzioni f(x) = x^2 e g(x) = x^{1/2} nello spazio C([0,2]) dotato
della metrica lagrangiana.  
Applicazioni tra spazi metrici, definizione di funzione continua in un punto; declinazione della
definizione nel caso di applicazioni r: I ---> R^n, I intervallo. Si anticipa che tale applicazione
risulta continua in t_0 se e solo se lo sono le sue componenti (da dimostrare).
ESEMPIO: rappresentazione parametrica di una circonferenza di centro (0,0) e raggio 2, percorsa una
volta sola in senso antiorario.

Lezione n. 3 -- ven. 19 sett. 2025 (2 ore)

In vista del concetto di CURVA (contin.): PROPOSIZIONE. Un'applicazione r: I ---> R^n, I intervallo,
e' continua in t_0 se e solo se lo sono le sue componenti (dim.). CURVE (in forma parametrica):
definizione, la coppia sostegno-parametrizzazione, equazioni parametriche. L'ordinamento dei numeri
reali induce un senso di percorrenza del sostegno. Curve distinte con lo stesso sostegno. Curve
piane, casi di rilievo: curve cartesiane (ovvero grafici di funzioni a valori reali continue in un
intervallo), curve in forma polare; esempi illustrativi (la curva definita da r(t)=(t^4,t^5), t in
[-1,1] e una sua riparametrizzazione come curva cartesiana (ESERCIZIO); la spirale di Archimede).
Il sito mathcurve (di Robert Ferreol, FR). ESERCIZIO: Si determinino i punti sul sostegno della
curva di equazioni parametriche (5 cos t- cos (5t),5 sin t - sin (5t)), t in R, a distanza minima e
massima da (0,0).
  
2^ Settimana

Lun. 22 sett. 2025 (0 ore) 

Adesione allo sciopero generale

Lezione n. 4 -- mer. 24 sett. 2025 (3 ore)

Alcune MOTIVAZIONI all'introduzione di nuovi concetti, quali ad esempio quelli di (i) punto interno
a un sottoinsieme di R^n (derivate, incrementi ammissibili), (ii) altre classi di regolarita' per
applicazioni r=r(t) a valori vettoriali, oltre la classe C^0(I) (concetti di curva rettificabile e
formula per il calcolo della lunghezza, massa di un filo materiale omogeneo o non omogeneo). 
  
Topologia indotta dalla metrica euclidea. Intorno sferico (o palla): definizione, cosa sono gli
intorni sferici nei casi n=1,2,3. Definizioni di: punto interno e punto esterno a un sottoinsieme D
di R^n, punti di frontiera, parte interna (o interno) di D, frontiera di D; insieme aperto, insieme
chiuso. Caratterizzazione degli insiemi chiusi (s.d.). Insiemi limitati in R^n: definizione, esempio
illustrativo (l'insieme E dei punti (x,y) tali che x^4+y^4 non supera 1 e' contenuto nel quadrato
[-1,1]^2). COMPITO: disegnare l'insieme E di cui sopra.
Derivabilita' di un'applicazione a valori vettoriali r=r(t) in t_0 interno a I: definizione,
vettore derivato (o derivata) r'(t_0), velocita' ||r'(t_0||; condizione equivalente. Curve di classe
C^1. Vettore e retta tangente a una curva in un suo punto: sotto quali ipotesi, equazioni
parametriche della retta, derivazione della nota equazione cartesiana (nel caso n=2).
Curve definite come insieme di livello di una funzione (scalare) di due variabili: l'equazione
x^{2/3}+y^{2/3}=1, come dedurre una sua rappresentazione parametrica. 
 
Lezione n. 5 -- ven. 26 sett. 2025 (2 ore)

CURVE (contin.). Curve regolari (def.). Si recupera l'ESERCIZIO inerente alla curva di equazione
x^{2/3}+y^{2/3}=1 (astroide): si introduce una rappresentazione parametrica, si mostra che la
curva e' C^1([0,2pi]), ma non e' regolare. Definizioni di curva chiusa e di curva semplice,
esempi illustrativi. Lunghezza di una curva (gamma,r), con r: [a,b] ---> R^n: suddivisioni di
[a,b], poligonali inscritte nel sostegno, definizione di curva rettificabile. La proprieta' "r
appartiene a C([a,b])" non e' sufficiente a garantire la rettificabilita' di un arco di curva; v.
la curva-grafico della funzione f(x) definita da xsin(pi x/2) per x in (0,1] e f(0)=0 (per la dim.
del fatto che essa non sia rettificabile v. il testo di riferimento). PROPOSIZIONE: Una curva
(gamma,r), con r: [a,b] ---> R^n appartenente a C^1([a,b]) e' rettificabile, e la sua lunghezza e'
pari all'integrale di ||r'(t)|| in [a,b] (dim. momentaneamente omessa). 
Il risultato e la formula si estendono alla classe delle curve regolari a tratti (def.). 

3^ Settimana

Lezione n. 6 -- lun. 29 sett. 2025 (2 ore)

CURVE, INTEGRALI di LINEA (contin. e conclusione). Si recupera la Proposizione enunciata nella
lezione precedente: dim. del primo assunto; per la dim. completa v. il testo di riferimento.
ESERCIZIO: calcolo della lunghezza della prima spira della spirale di Archimede.
Integrale curvilineo (o di linea) di una funzione (di piu' variabili), a valori reali: l'elemento
infinitesimale di linea, definizione (utilizzando un'argomentazione di tipo euristico, con spunto
dal calcolo della massa totale di un filo materiale, nota la densita' di massa).

Lezione n. 7 -- mer. 1 ott. 2025 (3 ore)

Feedback e DISCUSSIONE sui quesiti proposti (v. foglio 1 in Moodle): focus sul quesito 3,
riguardante il dominio di una funzione di due variabili. Descrizione analitica del dominio,
attribuite le proprieta' corrette tra le seguenti: essere aperto, chiuso, limitato, connesso (per
archi), convesso, stellato.

Si richiamano: la rappresentazione parametrica di una retta passante per due punti, e del segmento
congiungente due punti; integrale di un'applicazione a valori vettoriali in un intervallo [a,b]:
definizione, stima della norma (per la cui dimostrazione v. Nota in Moodle).

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali. Dominio, grafico, insiemi di livello; esempi
illustrativi. Limiti e continuita'. Il calcolo dei limiti.  

Lezione n. 8 -- ven. 3 ott. 2025 (2 ore)

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali (contin.). LIMITI e CONTINUITA'. Sia data una funzione a
valori reali definita in D, sottoinsieme di R^n. Si richiama la definizione di limite finito l, per
x che tende a x_0, con x_0 punto di accumulazione per D. Definizione di funzione continua in x_0
appartenente a D e di funzione continua in D; la classe C(D). LEMMA (dim.) L'applicazione che
associa a un punto (o vettore) x una sua componente x_i e' una funzione continua (in ogni punto di
R^n). Sulla base dei risultati inerenti ai limiti di somma (e differenza), prodotto e quoziente, si
deduce che sono funzioni continue i polinomi e le funzioni razionali (queste ultime ove definite).
TEOREMA riguardante la continuita' della composizione di funzioni continue (s.d.). ESEMPI
illustrativi. ESERCIZIO sulla continuita' della funzione definita dalla legge xy/[(x^2+y^)^{1/2}],
se (x,y) diverso da (0,0), e che vale 0 in (0,0).
L'importanza dell'utilizzo di STIME -- elementari e non -- per il calcolo dei limiti e altri scopi;
si richiama in particolare che il prodotto di due numeri non supera la semisomma dei rispettivi
quadrati (la stima segue dal fatto che (b-a)^2 e' non negativo per ogni a,b), oltre alle stime
dall'alto e/o del basso per la norma di somma e dfferenza di due vettori di R^n.
 
4^ Settimana

Lezione n. 9 -- lun. 6 ott. 2025 (2 ore)
 
FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali (contin.). Insiemi connessi per archi: definizione,
esempi; insiemi sconnessi, componenti connesse. I concetti di inf_D f, sup_D f, min_D f, max_D f.
RISULTATI di RILIEVO per le funzioni continue: i Teoremi dei valori intermedi, degli zeri, di
Weierstrass (s.d.); il ruolo della proprieta' di connessione nella dimostrazione del Teorema dei
valori intermedi e degli zeri. (Si sottolinea che in R sono connessi per archi tutti e soli gli
intervalli -- eventualmente generalizzati (s.d.).). DISCUSSIONE/ESERCIZI: Si determinano le
immagini delle funzioni f(x,y)=exp(-x^2-y^2) e g(x,y)= exp(-x-y), date nel loro dominio naturale
R^2. DISCUSSIONE con svolgimento del quesito 4 del foglio 1 (si dimostra che un insieme e'
limitato).
Sottolivelli e sopralivelli. PROPOSIZIONE (dim. rimandata): Il sottolivello di una funzione
continua in R^n, con disuguaglianza stretta, e' un insieme aperto. Si deduce che l'insieme di
livello di una funzione continua in R^n e' un insieme chiuso.

Lezione n. 10 -- mer. 8 ott. 2025 (3 ore)

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali (contin.). Dimostrazione della Prop. enunciata nella
lezione precedente, inerente ai sotto- o sopralivelli di funzioni continue (con disuguaglianza
stretta). Implicazioni per sopra- e sottolivelli di funzioni continue, con disuguaglianza non
stretta; l'insieme di livello di una funzione continua in R^n e' un insieme chiuso. DIGRESSIONE:
l'unione di una famiglia arbitraria di insiemi aperti e' aperto, l'interesezione di un numero
finito di aperti e' aperto, mentre l'interesezione di una famiglia di aperti non e' necessariamente
un inseme aperto; v. l'esempio dell'interesezione degli intevalli (-1/n,1/n) al variare di n in N.
Proprieta' speculari per intersezione e unione di insiemi chiusi si ottengono per mezzo delle leggi
di De Morgan.
CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Verso un'estensione appropriata
del concetto di derivabilita' di una funzione f in un punto x_0 (dal contesto elementare in cui n=1
al caso n>1). Derivata direzionale di f in x_0, lungo una direzione v: definizione, interpretazione
geometrica. Derivate direzionali lungo i versori e_i della base canonica, i=1,2,...,n: derivate
parziali (prime). Il calcolo delle derivate parziali: primi esempi.

ESERCIZIO sulla ricerca di estremi assoluti della funzione [(x+y)^3]/3 nell'insieme M dei punti
(x,y) tali che x^2/2+xy+y^2=2. Si discute la validita' delle ipotesi del Teorema di Weierstrass.
COMPITO: determinare i valori estremi e i punti di estremo (suggerimento: risulta utile il cambio
di variabili X=x+y, Y=y).
   
Lezione n. 11 -- ven. 10 ott. 2025 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Derivate parziali
prime di f in un punto x_0 interno al suo dominio, il vettore (gradiente) nabla f(x_0). L'esistenza
di nabla f(x_0) o persino di tutte le derivate direzionali D_vf(x_0) non assicura che f sia
continua in x_0; discussione di due esempi illustrativi. 
Si richiama la definizione di "f e' derivabile in x_0" (nel caso n=1). Implicazioni: continuita' di
f in x_0, esistenza della retta tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)). Formula asintotica
equivalente, approssimazione lineare. Definizione di "f e' differenziabile in x_0" (interno a D)
(n>1). Il differenziale di f in x_0, sua forma (dim.), riformulazione della definizione.  
   
5^ Settimana
   
Lezione n. 12 -- lun. 13 ott. 2025 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Si richiama la def.
di funzione differenziabile in un punto x_0 (interno al suo dominio). Interpretazione geometrica,
iperpiano tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)). ESERCIZIO: applicazione della def.
suddetta nel caso di f definita da una legge in R^2\{x_0} (e con valore assegnato in x_0); calcolo
del gradiente di f negli altri punti, si osserva che le derivate parziali sono funzioni continue.
TEOREMA (dim.) riguardante le implicazioni della differenziabilita' di f in x_0: (i) continuita' di
f in x_0, (ii) esistenza di tutte le derivate direzionali di f in x_0 e "formula del gradiente"
(linearita' dell'applicazione v ---> D_vf(x_0)). Direzioni di massima crescita/decrescita di f in
x_0.

Lezione n. 13 -- mer. 15 ott. 2025 (3 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Interpretazione
geometrica della proprieta' di differenziabilita' di f in un punto p_0: (n=2) piano tangente al
grafico G_f di f in P_0=(p_0,f(p_0)); un vettore normale N e i due versori normali a G_f in P_0;
iperpiano tangente. Una condizione sufficiente affinche' una funzione f sia differenziabile in un
punto x_0: il Teorema del differenziale totale (s.d.). Una condizione sufficiente affinche' una
funzione f sia differenziabile in insieme aperto A di R^n: f possiede derivate parziali prime
continue in A -- si dice che f appartiene alla classe C^1(A).
ESEMPIO/ESERCIZIO: si discute la regolarita' della funzione f(x)=||x|| (norma di x) nei punti di
R^n; il caso n=2: specularita' tra proprieta' analitiche di f e proprieta' geometriche del grafico
di f.
APPLICAZIONI del CALCOLO DIFFERENZIALE. Valori estremi e punti di estremo (cioe' di massimo e/o
minimo) assoluto per funzioni a valori reali, definite in sottoinsiemi di R^n. Punti di massimo/
minimo relativo. Si richiama il Teorema di Fermat per funzioni di una variabile (la condizione di
derivata nulla e' solo necessaria e riguarda punti interni in cui f e' derivabile). Il TEOREMA di
FERMAT nel caso n>1 (dim.). Discussione di un PROBLEMA di max/min: validita' delle ipotesi del
Teorema di Weierstrass, ricerca di eventuali punti critici (o stazionari) per f interni a D,
analisi di f sulla frontiera di D (COMPITO per casa). 

Lezione n. 14 -- ven. 17 ott. 2025 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). DERIVAZIONE di
FUNZIONI COMPOSTE. Introduzione: contesto attuale, richiami al caso di composizione di funzioni (a
valori reali) di una variabile ed enunciato del Teorema relativo, con la regola della catena. Il
risultato si estende al caso di composizione di applicazioni a valori vettoriali, di piu' variabili
(s.d.). Una MOTIVAZIONE/APPLICAZIONE: verifica del fatto che una certa funzione sia soluzione di
un'equazione differenziale a derivate parziali. L'equazione del trasporto (semplice) u_t+cu_x=0:
argomentazione euristica per dedurre la forma di una sua soluzione, se essa esiste; verifica del
fatto che u(t,x) = f(x-ct), con f appartenente a C^1(R), e' effettivamente soluzione (per questo si
enuncia il risultato inerente alla derivazione di quel tipo di funzioni composte (s.d.)).    

6^ Settimana
   
Lezione n. 15 -- lun. 20 ott. 2025 (2 ore)

DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE (contin.). Casi di rilievo: 1. h(x)= g(f(x)), con f e g funzioni a
valori reali, rispettivamente di piu' variabili e di una variabile; quali ipotesi su g e f ai fini
della differenziabilita' di g in x, la regola della catena (s.d.). ESEMPIO/ESERCIZIO: ricerca
di eventuali soluzioni a simmetria radiale dell'equazione a derivate parziali (EDP) yu_x-xu_y=0,
y>0; si verifica che ogni funzione a simmetria radiale e' soluzione dell'equazione in R^2\{(0,0)}.
Introducendo un cambiamento delle variabili indipendenti, si deduce un'EDP (in una nuova incognita)
tramite la quale e' possibile dimostrare che le soluzioni sono tutte e sole di tipo radiale. 
2. g(t) = f(r(t)), con r: I ---> R^n (I intervallo reale, n>1) e f: D ---> R (D sottoinsieme di
R^n). Enunciato del risultato corrispondente (dim. posticipata). 
 
Lezione n. 16 -- mer. 22 ott. 2025 (3 ore)

DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE (contin.). Dalla lezione precedente: PROPOSIZIONE (dim.) inerente
al caso di rilievo g(t) = f(r(t)), con r: I ---> R^n (I intervallo reale, n>1) e f: D ---> R (D
sottoinsieme di R^n): condizioni sufficienti per la derivabilita' di g in t_0, regola della catena
per il calcolo di g'(t_0) (con dim.). Si sottolinea che le ipotesi non sono necessarie: la funzione
cos|x| e' derivabile in x_0=0, anche se |x| non lo e'.
APPLICAZIONI della DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE: ortogonalita' del gradiente agli insiemi di
livello regolari. Dati una funzione a valori reali f=f(x,y), il luogo geometrico M descritto
dall'equazione f(x,y)=0, e un suo punto p_0=(x_0,y_0), le condizioni 
- (H1) f appartenente alla classe C^1(A) (A insieme aperto), e 
- (H2) grad f(p_0) diverso da (0,0),
garantiscono che M e' localmente (in un intorno di p_0) il sostegno di una curva cartesiana
regolare (s.d.). Ne consegue che grad f(p_0) e' ortogonale a M in p_0 (dim.). Funzioni definite
implicitamente, il Teorema delle funzioni implicite (enunciato omesso, al momento).

ESERCIZIO: calcolo delle derivate direzionali di una funzione f in R^2, ricerca di valori estremi
di f nel quadrato [0,1]x[0,1]; COMPITO: concludere lo studio di f ristretta al bordo del quadrato. 

Lezione n. 17 -- ven. 24 ott. 2025 (2 ore)

ESERCIZIO: presentazione dei calcoli necessari per la risoluzione completa di un problema di
max/min (v. il Q7 nel foglio 2), ove la difficolta' riscontrata riguardava la risoluzione di
un'equazione trigonometrica; un metodo per risolvere a cos(t)+b sin(t)+c=0. 

CALCOLO DIFFERENZIALE per APPLICAZIONI f: D ---> R^m, con D contenuto in R^n (m, n>1). La
continuita' di f in x_0 appartenente a D: definizione, equivalenza con la continuita' di tutte le
componenti di f in x_0. Esempi illustrativi/Casi di rilievo: i) n=2, m=3 (superfici in forma
parametrica); ii) m=n. (Si anticipa, in relazione a ii), la questione dell'invertibilita' di
applicazioni definite in sottoinsiemi aperti di R^n, a valori in R^n. Il caso n=1: La condizione
"f appartenente a C^1((a,b))", con "f'(x) diversa da 0 in (a,b)" implica "f e' invertibile in
(a,b)". L'implicazione e' falsa, in generale, se n>1: ad es., T(x,y) =(e^x cos y,e^x sin y) non e'
iniettiva in R^2, anche se ha matrice jacobiana non singolare in tutti i punti (x,y).)
Proprieta' di differenziabilita' di f in x_0 interno a D: definizione, struttura del differenziale,
matrice jacobiana di f in x_0, notazione. La differenziabilita' di f in x_0 equivale alla
differenziabilita' di tutte le sue componenti f_i in x_0, i=1,2,...,m (dim.). 

7^ Settimana
   
Lezione n. 18 -- lun. 27 ott. 2025 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per APPLICAZIONI da sottoinsiemi di R^n (a valori) in R^m, con m,n>1
(contin.). ESEMPI/ESERCIZIO: calcolo della matrice jacobiana di due applicazioni.
DERIVATE SUCCESSIVE. Derivate parziali seconde (pure e miste), matrice hessiana; la notazione
D^2f(x_0). ESERCIZIO: esistenza e calcolo delle derivate seconde della funzione norma euclidea.
Il TEOREMA di Schwarz (s.d.). La classe C^2(A) (A insieme aperto di R^n); C^2(A) e' contenuta
in C^1(A). La matrice hessiana di una funzione appartenente a C^2(A) e' simmetrica. 

Lezione n. 19 -- mer. 29 ott. 2025 (3 ore)

CALCOLO INTEGRALE per FUNZIONI di PIU' VARIABILI (lezione capovolta - flipped classroom).
In classe: discussione del contenuto delle pagine date in lettura (dal testo "Calcolo" di F. Conti,
P. Acquistapace, A. Savoijni; v. Moodle). Una sinossi degli elementi fondamentali per la teoria
dell'integrazione di funzioni di piu' variabili: 0) l'integrale secondo Riemann per funzioni di una
variabile (richiami); il contesto attuale. i) I concetti di insieme (limitato) misurabile e di
insieme trascurabile, caratterizzazioni rispettive (s.d.), con esempi illustrativi in R^n, n=1,2,3.
ii) Funzioni integrabili su insiemi misurabili: definizione, classi di funzioni integrabili. iii)
Proprieta' dell'applicazione che associa alla funzione integrabile (in D misurabile) il valore
dell'integrale in D: linearita', positivita', monotonia, additivita' rispetto all'insieme di
integrazione. iv) Il calcolo degli integrali (nel caso n=2): integrale doppio esteso a un dominio D
semplice rispetto all'asse y, integrali iterati (il Teorema di Fubini, s.d.); dim. della formula di
riduzione, nota la stessa (formula) su un rettangolo. ESERCIZIO/ESEMPIO illustrativo. Insiemi (che
non sono semplici, ma sono) semplicemente decomponibili.

Lezione n. 20 -- ven. 31 ott. 2025 (2 ore)

CALCOLO INTEGRALE per FUNZIONI di DUE VARIABILI (contin.). Insiemi trascurabili in R^2. Come
provare che un insieme limitato del piano e' trascurabile (ovvero misurabile, con misura nulla): si
dimostra che esiste un plurirettangolo di area arbitrariamente piccola che lo contiene.
PROPOSIZIONE (dim.): Il grafico di una funzione f (a valori reali) continua in un intervallo [a,b]
e' trascurabile in R^2. (Incidentalmente, si introduce il concetto di uniformemente continuita', e
il risultato di rilievo secondo cui una funzione continua in un sottoinsieme chiuso e limitato di
R^n e' ivi uniformemente continua (caso particolare del Teorema di Heine-Cantor).)
Insiemi semplici rispetto all'asse x o rispetto all'asse y: definizioni rispettive. Un insieme
x-semplice o y-semplice e' misurabile in R^2, poiche' la sua frontiera e' l'unione di quattro
curve cartesiane ed e' pertanto trascurabile. ESERCIZIO: calcolo di un integrale, con applicazione
di una specifica formula di riduzione.

8^ Settimana

Lezione n. 21 -- lun. 3 nov. 2025 (2 ore)

(Da non computarsi nel monte ore delle/degli studenti dei Percorsi "Gestione e Sicurezza dei
Processi costruttivi" e "Edifici e sistemi edilizi" del CdS ICE.)

Due ESERCIZI (curve e integrali di linea di funzioni scalari; funzioni di piu' variabili, derivate
direzinali, problemi di max/min).

Lezione n. 22 -- mer. 5 nov. 2025 (3 ore)

CAMBIAMENTI di VARIABILI negli integrali multipli. Spunto/esercizio: calcolo dell'area di un
parallelogramma curvilineo. Nel caso di integrali multipli l'introduzione di cambi di coordinate
e' motivata spesso dalla geometria del dominio. DIFFEOMORFISMI: definizione, le proprieta' (a) "T
appartiene a C^1(A)" e (b) "T e' invertibile" non implicano, in generale, (c) "T^{-1} appartiene
alla classe C^1(T(A)); cfr. T(x)=x^3, x in R. Se valgono (a)-(b)-(c)', con (c)' "det DT(x) diverso
da 0 per ogni x in A", allora T e' un diffeomorfismo (globale) in A. TEOREMA (di Fubini) e formula
per il cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.). Domini a simmetria radiale/sferica.
Coordinate polari: la trasformazione in coordinate polari non e' iniettiva su [0,infty)x[0,2pi] (ma
questo non ne ostacola l'utilizzo). Se T e' un diffeomorfismo in A (cioe' valgono (a), (b) e (c)),
allora DT(x) e' non singolare per ogni x in A (dim.); relazione che lega le matrici jacobiane e i
determinanti jacobiani di un diffeomorfismo e della sua inversa (mediante derivazione di funzioni
composte e uso del Teorema di Binet).
Soluzione del problema proposto nell'incipit, mediante l'introduzione di nuove variabili.

COMPITO: calcolare l'area del parallelogramma curvilineo senza cambio di variabili. 

Lezione n. 23 -- ven. 7 nov. 2025 (2 ore)

INTEGRALI TRIPLI. Il background teorico necessario (del tutto analogo a quello discusso nel caso
di integrali doppi): la definizione di insieme (limitato) misurabile in R^3, insiemi trascurabili
in R^3, caratterizzazione degli insiemi misurabili; il grafico di una funzione continua in un
insieme chiuso e limitato e' trascurabile in R^3 (idea della dim.); funzioni di tre variabili
(limitate) integrabili su un insieme misurabile, classi di funzioni integrabili (le funzioni
continue in un compatto, le funzioni generalmente continue). Il CALCOLO degli integrali tripli: il
Teorema di Fubini, in 3-D vi sono diverse formule di riduzione. Sottoinsiemi di R^3 semplici
rispetto a un asse, integrazione (cosiddetta) per fili. Un ESEMPIO/ESERCIZIO (cono gelato pieno).

9^ Settimana

Lezione n. 24 -- lun. 10 nov. 2025 (2 ore)

CALCOLO INTEGRALE (contin.). Formula per l'area di una regione piana delimitata da una curva di
Jordan descritta da un legge polare (o di un settore polare); applicazione al caso della curva del
quesito 2. nella prova parziale. (Definizione di curva di Jordan, Teorema di Jordan (s.d.).)
CAMPI VETTORIALI, INTEGRALI di LINEA relativi. Il campo di velocita' di un fluido come applicazione
da un sottoinsieme di R^4 in R^3 (campo non stazionario). Campi vettoriali (stazionari) da
sottoinsiemi di R^n in R^n, n=2,3; il ruolo dell'ipotesi "F appartiene alla classe C^1" ai fini
dell'esistenza delle linee di flusso. Formula per il computo del lavoro di un campo di forze F
lunogo un cammino gamma, integrale curvilineo di F esteso a gamma (anche detto "di seconda specie",
per distinguerlo dall'integrale curvilineo di funzioni scalari), giustificazione della formula.

Lezione n. 25 -- mer. 12 nov. 2025 (3 ore)

CAMPI VETTORIALI, INTEGRALI di LINEA relativi (contin.). Si richiama la formula per l'integrale
curvilineo di un campo vettoriale F esteso a un arco di curva gamma regolare (o regolare a tratti).
Proprieta' dell'integrale: linearita', additivita' rispetto all'insieme di integrazione. Non
invarianza dell'integrale curvilineo (di seconda specie) rispetto a riparametrizzazioni (esso
dipende dall'orientazone su gamma); riscrittura dell'integrale di F su gamma come integrale (di
prima specie) della funzione scalare <F,T>, se T rappresenta il campo che esprime il versore
tangente nei punti di gamma. ESEMPIO: calcolo dell'integrale di F(x,y)=(x^2+y^2)^{-1}(-y,x)
sulla circonferenza di centro (0,0) e raggio R, percorsa una volta sola in senso antiorario.
CAMPI VETTORIALI CONSERVATIVI: definizione, Teorema fondamentale del calcolo (dim.). Implicazioni:
i) l'integrale di un campo F su un arco di curva regolare o regolare a tratti (con sostegno in un
aperto su cui F e' continuo) dipende esclusivamente dai punti iniziale e finale, ma non dallo
specifico cammino; ii) la circuitazione del campo su una curva (semplice) chiusa e' nulla. Si
osserva che ii) puo' essere utilizzata per provare che un campo non e' conservativo in un insieme;
v. l'esempio paradigmatico sopra. 
Una condizione NECESSARIA affinche' un campo vettoriale appartenente a C^1(A) sia conservativo in
un insieme aperto A: l'operatore differenziale rotore, campi irrotazionali in A (dim.); la
condizione non e' sufficiente (v. esempio sopra). Condizioni SUFFICIENTI affinche' un campo
vettoriale irrotazionale in A sia ivi conservativo: il ruolo della geometria/topologia di A.
Sottoinsiemi di R^n (n=2,3) STELLATI (LEMMA di Poincare'), o piu' in generale SEMPLICEMENTE
CONNESSI (definizione intuitiva, quella formale richiederebbe il concetto di curve omotope).
Esempi illustrativi: si sottolinea che non sono semplicemente connessi R^2 privato di un punto p_0
e R^3 privato di una retta, mentre R^3\{p_0} e' semplicemente connesso.

Lezione n. 26 -- ven. 14 nov. 2025 (2 ore)

CALCOLO VETTORIALE. Formule di Green nel piano (dim. nel caso di insieme semplice rispetto a
entrambi gli assi). Validita' delle formule in insiemi semplicemente decomponibili, una volta
provate nel caso di insiemi y-semplici o x-semplici. Si deducono: tre formule per l'area della
regione racchiusa da una curva di Jordan, il Teorema di Gauss-Green nel piano, il Teorema della
divergenza (in 2-D). Teorema della divergenza in 3-D (solo la formula), che collega il flusso di un
campo vettoriale attraverso una superficie chiusa all'integrale triplo della divergenza del campo.

10^ Settimana 

Lezione n. 27 -- lun. 17 nov. 2025 (2 ore)

CAMPI CONSERVATIVI (contin.). Un ESERCIZIO: si discute nel dettaglio la richiesta di calcolare il
lavoro di una campo di forze F lungo un arco di curva gamma nello spazio. Valutazione della
proprieta' di irrotazionalita' di F nel suo dominio massimale R^3, che e' un insieme convesso e per
questo stellato; si deduce che F e' conservativo in R^3. Come si procede per determinare un
potenziale U(x,y,z) di F(x,y,z); utilizzo del Teorema fondamentale del calcolo per integrali
curvilinei. Una strada alternativa per il computo del lavoro (ovvero dell'integrale di F su gamma):
una diversa e piu' conveniente scelta del cammino, con stessi punti iniziale e finale.   

Lezione n. 28 -- mer. 19 nov. 2025 (3 ore)

SUPERFICI in FORMA PARAMETRICA. Richiami: il sostantivo "superficie" e' stato utilzzato per
indicare (i) grafici di funzioni (a valori reali) di due variabili (continue) in opportuni
sottoinsiemi di R^2, e anche (ii) insiemi di livello regolari di funzioni di tre variabili (il
Teorema delle funzioni implicite garantisce che tali insiemi sono localmente -- cioe' in un intorno
di ogni loro punto -- una superficie cartesiana (cioe' del tipo in (i)).
Introduzione alle superfici parametriche: definizione come coppia (S,r), con r: D ---> R^3
continua, e S=r(D) (D sottoinsieme di R^2 opportuno), equazioni parametriche; la superficie sferica
come esempio illustrativo. Superfici semplici (informale). Linee coordinate, superfici regolari,
equazione del piano tangente (e un vettore normale) a S in un suo punto. Il grafico di una funzione
f=f(x,y) appartenente a C^1(D) e' una superficie regolare (dim.). 

Come definire l'AREA di una superficie. Si sottolinea che un'argomentazione analoga -- mutatis
mutandis -- a quella utilizzata per la definizione di curva rettificabile (per mezzo di poligonali
inscritte) risulta inefficace, che' la procedura di costruzione di superfici poliedrali con
vertici su S puo' risultare non convergente (anche nel caso di superfici elementari quali una
superficie cilindrica: v. l'esempio di Schwarz). Costruzione efficace mediante `pezzi' di piani
tangenti a S.  Formula per l'area di una superficie parametrica. (Per un'introduzione intuitiva
alla formula dell'area di una superficie, si tenga conto del fatto che l'area del parallelogramma
generato da due vettori non paralleli y e w e' pari a ||yxw||, ove il simbolo x indica (qui) il
prodotto vettoriale.)

Lezione n. 29 -- ven. 21 nov. 2025 (2 ore)

SUPERFICI PARAMETRICHE (contin.). Area di una superficie regolare, integrali di superficie,
integrali di flusso. Discussione di un PROBLEMA: alcuni quesiti inerenti il calcolo de (i) l'area
di una superficie cartesiana S, (ii) il volume del solido Omega racchiuso da S e da una seconda
superficie Sigma; si illustra il metodo di integrazione "per strati"; (iii) il flusso di un campo
vettoriale attraverso S (nella direzione entrante in Omega), sia direttamente sia mediante il
Teorema della divergenza (COMPITO: completare questo ultimo calcolo).   

11^ Settimana

Lezione n. 30 -- lun. 24 nov. 2025 (2 ore)

SUPERFICI di ROTAZIONE. Derivazione delle equazioni parametriche (data una rappresentazione della
curva piana gamma la cui rotazione completa genera la superficie S); la regolarita' di S discende
da quella di gamma; formula per l'area, Teorema di Guldino. SOLIDI di ROTAZIONE: costruzione,
Teorema di Pappo (lettura come compito).

Lezione n. 31 -- mer. 26 nov. 2025 (3 ore)

APPROSSIMAZIONE di FUNZIONI. Data una funzione f: (a,b) ----> R, si richiamano le formule (note) di
Taylor di ordine n, con centro in x_0 e resto di Peano o Lagrange, nei casi rispettivi in cui f
appartiene alla classe C^n((a,b)) o C^{n+1}((a,b)); si sottolinea il carattere locale della
approssimazione. Serie di Taylor, funzioni sviluppabili in serie di Taylor (o analitiche) in un
intervallo. Una funzione analitica in I appartiene alla classe C^infty(I); una funzione in
C^infty(I) non e' in generale analitica: v. la funzione f(x)=exp(-1/x^2) se x e' diverso da 0 e
tale che f(0)=0, che ammette derivate di ogni ordine continue in R (COMPITO: fare la verifica),
con in particolare f^{(k)}(0)=0 per ogni k=0,1,2,..., che rende la serie di Taylor centrata in 0
identicamente nulla, mentre f(x)>0 per x diverso da 0.
SERIE di POTENZE (cenni): forma del termine generale (in campo reale o complesso), la successione
delle somme parziali (o ridotta n-esima) e' un polinomio. Raggio di convergenza (def.), struttura
dell'insieme di convergenza in campo reale e in campo complesso (s.d.); una condizione per il
calcolo del raggio di convergenza (s.d.). Relazione tra serie di potenze e serie di Taylor.

Il fatto che la somma di una serie di potenze (reali) con raggio di convergenza R>0 convergente sia
C^infty in un intervallo puo' costituire un limite di tali serie ai fini dell'approssimazione, per
il fatto che preclude l'approssimazione di funzioni che abbiano ad es. qualche punto di
discontinuita'. Si anticipa il tema "Serie di Fourier": polinomi trigonometrici, serie
trigonometriche; prolungamenti di funzioni definite in [-pi,pi) 2pi-periodici su R. 
    
Lezione n. 32 -- ven. 28 nov. 2025 (2 ore)

SUCCESSIONI di FUNZIONI. Convergenza puntuale di una successione di funzioni (a valori reali)
definita in un sottoinsieme di R: definizione, due esempi (1. la successione f_n(x)=x^n, con x
che varia in [0,1]; 2. f_n(x)=min{n,1/x}, con x che varia in [0,1] in [1/n,1]). Calcolo del
limite puntuale f(x); nell'es. 2 f(x) e' definita in (0,1]. Si osserva che la convergenza puntuale
non preserva proprieta' quali la continuita' (es. 1.) e/o la limitatezza (es. 2.).
Convergenza uniforme, confronto tra le due definizioni. Si verifica che la successione dell'esempio
1. non converge uniformemente a f in [0,1]. Implicazioni della convergenza uniforme (v. il testo di
riferimento e la Nota in Moodle); passaggio al limite sotto il segno di integrale. 
 
12^ Settimana

Lun. 1 dic. 2025

Docente assente (autorizzata) per motivi di servizio.

Lezione n. 33 -- mer. 3 dic. 2025 (3 ore) 

SUCCESSIONI e SERIE di FUNZIONI (contin.) Un ESERCIZIO: discussione di convergenza puntuale e
uniforme per una successione f_n(x). 
Per le serie di funzioni, la dimostrazione della validita' della convergenza uniforme in un certo
insieme e' in generale preclusa per il fatto che non e' nota la somma (puntuale) della serie.
Esistono risultati ad hoc, quali il criterio di Weierstrass, che forniscono condizioni sufficienti
ad assicurare la convergenza uniforme (in un qualche insieme).
INTRODUZIONE alle SERIE di FOURIER, una MOTIVAZIONE/APPLICAZIONE: il problema di Cauchy-Dirichlet
per l'equazione delle onde in un intervallo linitato. Il modello differenziale, condizioni al
bordo, condizioni iniziali. Ricerca di soluzioni a variabili separate, discussione di un problema
agli autovalori.

Lezione n. 34 -- ven. 5 dic. 2025 (2 ore)

Un'APPLICAZIONE di rilievo delle serie di Fourier (contin.): risoluzione di problemi al contorno e
ai valori iniziali per equazioni differenziali a derivate parziali. Il problema di Cauchy-Dirichlet
per l'equazione della corda vibrante (di lunghezza L): determinazione di una famiglia di soluzioni
{u_n(t,x)}_n del problema al contorno, a variabili separate. Una somma finita di tali funzioni (che
e' un polinomio trigonometrico) non soddisfa, in generale, le condizioni iniziali; per questo
motivo si introduce la serie di termine generale u_n(t,x). La condizione u(0,x)=phi(x) in [0,L]
suggerisce che si prolunghi phi a una funzione dispari e 2pi-periodica in R; ricerca di
coefficienti che rendano plausibile/possibile l'identita'.

SERIE di FOURIER. Funzioni periodiche di periodo T>0: definizione, altri periodi, periodo minimo.
Non e' restrittivo assumere T=2pi. Serie trigonometrica associata a una funzione 2pi-periodica.
Argomentazione di tipo euristico che produce opportune formule per i coefficienti della serie
(candidata ai fini della convergergenza, in qualche senso, alla funzione data); i coefficienti di
Fourier, la serie di Fourier associata a una funzione 2pi-periodica. (Incidentalmente, si ricordano
le formule di Werner, che legano il prodotto di coseni/seni di due angoli diversi a
somma/differenza di funzioni trigonometriche di somma e differenza di tali angoli.)

13^ Settimana

Lun. 8 dic. 2025

Festa nazionale

Lezione n. 35 -- mer. 10 dic. 2025 (3 ore)

SERIE di FOURIER (contin.). Serie di Fourier associata a una funzione 2pi-periodica e integrabile
secondo Riemann in un intervallo di ampiezza 2pi, formule per i coefficienti di Fourier. (COMPITO:
funzioni T-periodiche, formule relative.) Il caso di funzioni pari o dispari: sviluppi in serie di
Fourier (rispettivamente) di soli coseni o di soli seni. ESERCIZIO: serie di Fourier associata al
prolungamento 2pi-periodico della restrizione della funzione x^2 all'intervallo [-pi,pi). 
Convergenza delle serie di Fourier: vi sono criteri rispettivamente per la convergenza puntuale,
uniforme, in media quadratica; disuguaglianza di Bessel e identita' di Parseval; v. Teorema 7.14 e
i Teoremi 7.9 e 7.10 nel testo di riferimento, oltre alla Nota della docente nella piattaforma
Moodle. Funzioni regolari a tratti.
 
ESERCIZIO: calcolo del flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie chiusa, per mezzo
del Teorema della divergenza; computo dell'integrale triplo con due diverse formule di riduzione.